ouvrir le compas de proportion de maniere que l'intervalle HI des points 2 & 2 de la ligne des plans foit égal au côté AB, c'est-à-dire que cette ligne foit égale à HI; & fi l'on prend l'intervalle KL, que je fuppofe de 5 en 5, la ligne K L fera le côté du quarré que l'on demande: ainfi faifant CD égal à K L, il y aura même raison du quarré A B au quarré de CD, que de 5 à 2.

PROPOSITION XX V.

PROBLEM E.

896. Connoître le rapport d'un quarré à un autre.

Se fervant de la même figure, fi l'on veut fçavoir le rapport du quarré A Bau quarré CD, l'on n'aura qu'à prendre le côté AB du plus petit quarré, & ouvrir le compas de proportion de maniere que le compas ordinaire fe trouve dans deux points également éloignés du centre fur les lignes des plans, comme est , par exemple, HI: enfuite il faut prendre le côté CD de l'autre quarré, & chercher avec le compas un intervalle tel que KL, qui lui convienne fur la ligne des plans; & le rapport qu'il y aura entre les deux nombres qui fe trouveront aux points H & K, fera le même que celui du quarré AB au quarré CD.

PROPOSITION XXV I.

PROBLEM E.

Figure 316

& 321.

897. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes Figure 317. des plans forment un angle droit.

Pour faire un angle droit tel que B A C avec les deux lignes des plans, il faut avec le compas ordinaire prendre l'intervalle du centre à un nombre quelconque D, qui fera, par exemple, 20, puis ouvrir le compas de proportion, de maniere que l'intervalle des points (qui correfpondront à la moitié de ce nombre) foit égal à la longueur AD: ainfi prenant les nombres 10 & 10, qui feront moitié de 20, l'on n'aura qu'à faire l'intervalle FG égal à la distance AD, & les lignes des plans AB & AC formeront un angle droit.

Figure 318 & 321.

PROPOSITION XXVII

PROBLEM E.

898. Faire un quarré égal à deux autres donnés.

Pour faire un quarré qui foit égal aux deux autres A B & CD, il faut ouvrir le compas de proportion, de maniere que les lignes des plans forment un angle droit, comme eft l'angle EFG; puis prendre fur la ligne FE la longueur FI égale au côté A B, & bien retenir le nombre où l'extrêmité I viendra aboutir enfuite il faut prendre de même la longueur FH égale au côté CD de l'autre quarré; & la distance de H en I, qui fera, par exemple, celle de 18 en 5, fera le côté du quarré égal aux deux quarrés propofés.

:

REMARQUE.

Comme toutes les figures femblables font dans la même raison que les quarrés de leurs côtés homologues, l'on pourra faire les mêmes opérations pour les triangles, les polygones & les cercles que l'on a faits dans les propofitions précédentes pour les quarrés.

USAGE DE LA LIGNE DES SOLIDES.

PROPOSITION XXVIII.

PROBLEM E.

899. Faire un cube qui foit à un autre felon une raison donnée. Si l'on veut avoir un cube qui foit au cube AB, comme 3 eft à 7, il faut commencer par prendre avec le compas ordinaire le côté AB, & le porter fur la ligne des folides, de maniere qu'il correfponde aux points 7 & 7: ainsi suppofant que l'intervalle des points K & L foit celui du nombre 7, l'on n'aura plus qu'à prendre l'intervalle IH de 3 en 3 pour avoir le côté du cube que l'on demande. Ainfi faifant C D égal à HI, il y aura même raifon du cube A B au cube CD, que de 7 à 3.

Pour trouver le rapport qui eft entre deux cubes quelconques Figure 319 CD & AB, il faut prendre le côté CD du plus petit cube, & 322. & ouvrir le compas de proportion, enforte que l'intervalle HI, pris vers le centre, foit égal à ce côté. Après cela, l'on dra le côté A B pour le porter en un endroit, comme KL, dont l'intervalle lui foit égal, & le rapport que l'on trouvera entre les nombres qui feront marqués aux points I & K, fera le même que celui du cube CD au cube AB.

REMARQUE.

pren

Comme tous les folides femblables font dans la même raifon que les cubes de leurs côtés homologues, il s'enfuit que l'on pourra faire à l'égard des cylindres, des cônes, des pyramides, & des fpheres, les mêmes opérations que l'on vient de faire pour les cubes, comme dans les propofitions précédentes. APPLICATION DE LA GEOMETRIE A L'ARTILLERIE. PROPOSITION XXX.

PROBLEME.

901. Faire l'analyse de l'alliage du métail dont on fait les pieces de canon.

Pour connoître l'utilité de ce problême, il faut être prévenu que le métail dont on fait les pieces d'Artillerie de fonte, est compofé de rofette, que l'on appelle communément cuivre rouge, & d'étain fin d'Angleterre; & comme il doit y avoir une proportion entre la rofette & l'étain qui compofent le métail, les Fondeurs les plus expérimentés fuivent celle de 100 à 12, c'est-à-dire que fur 100 livres de rofette ils mettent 12 livres d'étain.

Or comme il arrive tous les jours que dans les Fonderies on fond des pieces qui font hors d'état de fervir pour en faire de nouvelles, & que les Fondeurs font embarraffés pour fçavoir fi le métail eft conforme à l'alliage qu'ils fuivent, pour qu'il ne foit ni trop aigre ni trop doux; voici comment on pourra connoître au jufte la quantité de rofette & d'étain qui compofe le métail des pieces.

C'est une chose démontrée par l'expérience, & dont la raifon phyfique eft facile à appercevoir, que les métaux perdent

de leur pefanteur lorfqu'ils font dans l'eau: par exemple, fi l'on attache à une balance romaine un morceau de plomb pefant 48 livres, l'on verra que le corps étant mis dans l'eau, de forte qu'il en foit environné de toutes parts, au lieu de pefer 48 livres, n'en pefera que 44, parce que le plomb perd dans l'eau la douzieme partie de fon poids, ainfi des autres métaux qui perdent plus ou moins, felon qu'ils font plus ou moins pefans. Mais comme nous avons befoin de connoître ici ce que perdent l'étain & la rofette, l'on fçaura que l'étain perd la feptieme partie de fon poids, & que la rofette n'en perd que la neuvieme partie.

Cela pofé, pour connoître la quantité de rofette & d'étain qui fe trouve dans une piece de 24 livres de balle, qui pefe environ 5200 livres, il faut avoir un morceau de la piece, qui fera, par exemple, un de fes tronçons, & le pefer bien exactement; & fuppofant qu'il pefe 163 livres, on le pefera enfuite dans l'eau, pour voir combien il perd de fa pesanteur, & nous fuppoferons qu'il en perd 19 livres.

163

9

Préfentement il faut confidérer le métail comme étant tout de rofette, afin de voir, felon cette fuppofition, combien il perd de fa pefanteur, & l'on trouvera qu'il perd ; & confidérant auffi le métail comme étant tout étain, l'on cherchera combien il perd de fa pefanteur, & l'on trouvera qu'il perd : ainfi fi l'on nomme a la pefanteur du métail, b sa perte, c la perte du poids du métail, s'il étoit tout de rofette, dla perte du même poids, s'il étoit tout étain, l'on aura a = 163, b = 19, c= 163, d=13; & nommant x la quantité de rofette qui eft dans le métail, & y la quantité d'étain, voici comment on trouvera la valeur de ces deux inconnues.

cx

Il faut commencer par faire deux proportions, en disant : Comme a, poids du métail confidéré comme rofette est à c, perte de ce poids de rofette, ainfi x, qui eft la quantité de rofette inconnue, eft à la perte du poids de la même rosette inconnue; ce qui donne a: c :: x: ; & faisant la même chose pour l'étain, l'on dira: Comme a, poids du métail considéré comme étain eft à d, perte de ce poids d'étain, ainfi y, va leur de la quantité inconnue, eft à la perte de cette quantité d'étain, qui donnera encore cette proportion a: a:d ::y:2

a

Cx

Mais comme l'on a trouvé pour la perte du poids de la

dy

=

a

dy

A

rosette qui est dans le métail, & pour la perte du poids d'étain, qui eft auffi dans le métail, & que ces deux quantités font ensemble la perte du poids du métail : l'on aura donc cette équation * +4% = b; & comme x & y représentent la rofette & l'étain qui compofent le métail, l'on pourra encore former cette équation x+y=a; & dégageant une de ces deux inconnues, qui fera, par exemple x, l'on aura -y; & fubftituant la valeur de x dans l'équation + =b, il viendra “c―yc + dy

x=a

ex

dy

a

ac

A

=b, ou bien c+

dy-ycb.

a

Or fi l'on fait paffer c du premier membre dans le fecond, & que l'on multiplie les deux membres par a, il viendra dy―y c ab-ac, qui étant divifé par d―c, donne y

y

=

ab-ac

doù

eft égal à des quantités connues: par conféquent fi l'on met dans l'équation xay la valeur de y, l'on aura x =a abac ad ab qui donne auffi la valeur de x.

26

1304

Or pour connoître y en nombres, je confidere qu'il est égal à ab. -ac divifé par d -c: & comme b-c eft multiplié par a, je fouftrais de 19 de b 163 valeur de c, & le refte eft, que je multiplie par 163, qui eft la valeur de a pous avoir 9 , que je divife par 1536 valeur de d—c, qui eft ; la divifion étant faite, l'on trouvera 28 pour la valeur de y: & cherchant de même la valeur de x, l'on trouvera qu'elle eft de 135; ce qui fait voir qu'il y a 135 livres de rofette, & 28 livres d'étain dans le morceau de métail.

63

Pour fçavoir préfentement la quantité d'étain qu'il y a dans la piece de canon, il faut dire : Si dans 163 livres de métail il y a 28 livres d'étain, combien y en aura-t-il dans 5200 livres, poids de la piece? l'on trouvera qu'il y en a environ 894 livres, & par conféquent il y a 4306 livres de rofette.

Mais comme la raison de 4306 livres à 894 n'eft pas égale à celle de 100 à 12, parce que nous avons fuppofé qu'il y avoit dans le métail beaucoup plus d'étain qu'il n'en falloit, il fera facile de fçavoir combien il faut ajouter de rofette pour que l'alliage foit bien fait, en difant: Si pour 12 livres d'étain il faut 100 livres de rofette, combien en faudra-t-il pour 894