livres. On trouvera qu'il en faut 7450 livres; & comme il y en a déja 4306 livres, il faudra en ajouter 3144 livres. Si l'on a plufieurs pieces à refondre en même-tems, l'on cherchera par la regle précédente ce qui manque à chacune de rofette ou d'étain, afin que l'alliage foit dans la raison de 100 à 12. PROPOSITION XXX I. PROBLEM E. 902. Trouver le calibre des boulets & des pieces de canon. Pour trouver le calibre des boulets de telle pefanteur que l'on voudra, il faut fçavoir d'abord le diametre d'un boulet de même métail d'un poids déterminé, comme, par exemple, celui d'une livre de fer coulé, qui eft d'un pouce 10 lignes 8 points, & confidérer le diametre comme étant divifé en un grand nombre de petites parties égales, comme en 500 (pour que dans le calcul on puiffe négliger les reftes), enfuite cuber la valeur du diametre en petites parties, pour avoir 1 25000000 pour fon cube, que nous regarderons ici comme le boulet même, parce que les boulets étant des spheres, ils font dans la même raifon que les cubes de leurs diametres : c'est pourquoi fi l'on veut avoir le diametre d'un boulet de 24, l'on n'aura qu'à multiplier le cube d'un boulet d'une livre, c'est-àdire 125000000 par 24 pour avoir 3000000000, qui fera le cube du diametre du boulet de 24,puifqu'il eft 24 fois plus grand que l'autre. Ainfi en extrayant la racine cube de 3000000000, l'on aura 1442 petites parties, que l'on pourra changer en pouces, lignes & points, en difant: Si 500 petites parties donnent un pouce 10 lignes 8 points pour le diametre du boulet d'une livre, combien donneront 1442 petites parties pour le diametre du boulet de 24. On trouvera, après la regle faite, que le diametre eft de 5 pouces 5 lignes, & un peu plus de 4 points. Si l'on veut avoir le diametre de tout autre boulet, par exemple, celui de 16, l'on fera comme on a fait pour celui de 24, avec cette différence, qu'au lieu de multiplier 125000000 par 24, il faudra le multiplier par 16, afin d'avoir le cube du diametre du boulet qu'on cherche : & l'on pourra fur ce principe calculer une table pour tous les autres boulets. Mais Mais comme l'on a befoin de connoître particuliérement les diametres des boulets pour faire les coquilles dans lesquelles on coule le fer qui doit les former, & que la plûpart pourroient fe trouver embarraffés, s'ils ne connoiffoient pas le diametre du boulet d'une livre, ou s'ils foupçonnoient qu'il ne fût pas affez jufte pour fervir de base à une regle générale, en ce cas l'on pourra faire couler un boulet de tel diametre que l'on voudra, comme de 3 pouces, fans s'embarraffer de fa pefanteur qu'après qu'il fera fondu, parce que pour lors on le pefera bien exactement; & fuppofant qu'on a trouvé qu'il pefe 5 livres & demie, l'on réduira fon diametre en petites parties pour le cuber, & enfuite l'on dira: Si 5 livres & demie donnent tant de petites parties pour le cube du diametre de fon boulet, combien une livre donnera-t'elle de petites parties pour le cube de fon diametre: & lorfqu'on aura trouvé ce que l'on cherche, on en extraira la racine cube, qui donnera en petites parties la valeur du diametre du boulet d'une livre, qu'il fera facile de réduire en pouces, lignes, &c. fçachant que le diametre du premier boulet eft de 3 pouces. pas Pour trouver le diametre des pieces, l'on fçaura qu'il ne differe que de peu de chofe de celui de leurs boulets; & comme cette différence, qui eft ce qu'on appelle vent du boulet, n'est la même pour toutes les pieces, il fuffira de fçavoir le diametre de la piece d'une livre, pour trouver celui de tous les autres: & comme le diametre eft d'un pouce 11 lignes 6 points, parce que le boulet de cette piece a environ une ligne de vent, on fuppofera, comme on a fait pour fon boulet, que le diametre de la piece eft divifé en 500 parties; & voulant trouver celui de la piece de 24, l'on cubera 500 pour multiplier le produit par 24, dont on extraira la racine cube, qui eft encore 1442, dont on pourra connoître la valeur en pouces, lignes, &c. en difant : Si 500 donnent un pouce 11 lignes 6 points pour le diametre de fa piece d'une livre, combien donneront 1442 pour le diametre de la piece de 24: on trouvera que ce diametre eft de 5 pouces 7 lignes 9 points. PROPOSITION XXXII. PROBLEME. 903. Trouver le diametre des cylindres fervant à mesurer la poudre. Ooo L'on ne fe fert prefque jamais de balances dans les magasins & dans les Arcenaux pour mesurer la poudre que l'on distribue aux troupes, foit pour des détachemens ou pour tout autre fujet, parce qu'il faudroit trop de tems pour en faire la diftribution: on fe fert, au lieu de balances, de certaines mesures de fer blanc ou de cuivre, de figure cylindrique, qui contiennent plus ou moins de livres de poudre, ou de parties de livres. Or comme fouvent l'on eft obligé de faire faire de ces mesures, & qu'on ne peut, fans le fecours de la Géométrie, fçavoir les dimenfions qu'il faut leur donner pour contenir une quantité de poudre quelconque, voici une regle générale qui pourra fervir pour trouver le diametre de toutes les mefures que l'on voudra: mais comme il faut que ces mefures foient femblables pour que la regle puiffe convenir à toutes également, nous fuppoferons que ces mefures étant cylindriques, la hauteur du cylindre eft égale au diametre du cercle qui lui fert de base. Cela pofé, étant prévenu qu'une mefure cylindrique, dont le diametre eft de 3 pouces, contient 4 livres de poudre, l'on trouvera le diametre d'une mefure pour autant de livres que l'on voudra: par exemple, pour 10 livres, en difant: Si 4 livres de poudre donne 125 pouces pour le cube du diametre de fa mesure, combien donneront io livres de poudre ? l'on trouvera 312 pouces & demi cubes, dont il faudra extraire la racine qui fera de 6 pouces 8 lignes 9 points, qui eft la grandeur qu'il faut donner au diametre de la mesure de 10 livres, qui doit avoir auffi la même hauteur: il en fera de même pour telle autre mefure que l'on voudra. Mais fi l'on ignore le diametre d'une mefure pour une certaine quantité de poudre, & fi l'on n'a aucun terme de la proportion connue, dans ce cas il faut faire faire une mefure à laquelle on donnera le diametre que l'on voudra, & on la remplira de poudre, afin de fçavoir ce qu'elle contient ; & fçachant ce qu'elle contient, & la valeur du diametre, l'on fe fervira de la regle précédente pour trouver le diametre de toutes les autres mefures, faifant attention que ces mefures ne peuvent avoir lieu que pour la poudre dont les grains font approchans de même groffeur que font ceux de la poudre à canon car fi les grains étoient plus fins, les mesures contiendroient moins de poudre en pefanteur. L'on voit que cette regle eft établie fur ce que les cylindres femblables font dans la même raifon que les cubes de leurs diametres. Or comme les mefures dont il s'agit ici font fuppofées avoir une hauteur égale à leur diametre, elles feront donc femblables, & par conféquent leurs folidités, qui ne font autre chofe que la quantité de poudre qu'elles contiennent, feront dans la raifon des cubes des diametres. Mais fi l'on vouloit avoir des mesures, dont la hauteur fût plus grande ou plus petite que le diametre de la bafe ( que nous nommerons mesure irréguliere), il faudroit chercher le diametre de la mesure pour la quantité de poudre que l'on veut que cette mesure contienne, comme fi cette mesure devoit être réguliere, c'est-à-dire que le diametre fût égal à la hauteur; enfuite cuber le diametre, & divifer le produit par la hauteur de la mesure irréguliere, & le quotient fera la valeur du quarré du diametre de cette mefure. Après cela, fi l'on extrait la racine quarrée de cette quantité, l'on aura le diametre du cercle qui doit fervir de base à la mesure que l'on cherche. Comme les cercles font dans la raifon des quarrés de leurs diametres, l'on pourra prendre à la place des cercles les quarrés de leurs diametres. Or comme les cylindres font égaux, lorfque leurs hauteurs & leurs bafes, ou les quarrés des diametres de leurs bases font réciproques, nommant a le diametre de la bafe du cylindre régulier, a fera auffi fa hauteur; & nommant b la hauteur du cylindre irrégulier, & x le diametre de fa base, il faut, pour que le cylindre régulier foit égal à l'irrégulier, que b:a::aa: xx, d'où l'on tire bxx=aaa, ou bien xx — ou encore x = précédente. a b √, qui fait voir la raison de la regle Ce que nous venons de dire à l'égard des mefures pour la poudre, fe peut appliquer à toutes autres mefures cylindriques pour telles chofes que ce foit. PROPOSITION XXXIII. PROBLEM E. 904. Trouver quelle longueur doivent avoir les pieces de canon par rapport à leurs calibres. Les extrêmités dans lesquelles on eft tombé pour régler la Pl. XXIII. longueur des pieces de canon, en faifant celles de même calibre, tantôt fort longues, tantôt fort courtes, m'ont fait penfer qu'il devoit y avoir une longueur pour les pieces cylindriques de chaque calibre, qui étoit telle, qu'avec la charge ordinaire le boulet reçût la plus grande vîteffe que l'impulfion de la poudre eft capable de lui donner; & fi pour la connoître l'on eft obligé de confidérer les effets de la poudre dans le canon, voici, à mon avis, ce que l'on peut dire de plus plausible sur ce fujet. Comme l'on ne peut douter que plus il y a de poudre enFigure 323. flammée dans un canon, & plus le boulet reçoit de mouvement, nous fuppoferons que l'on a l'on a mis pour la charge de la piece DG la quantité de poudre DE. Cela pofé, auffi-tôt que le feu de l'amorce fe fera introduit au point A de la lumiere, les premiers grains de poudre enflammés raréfieront l'air qu'ils contiennent, & celui dont ils font environnés, & écarteront à la ronde tout ce qui leur fera obftacle, & fucceffivement la poudre continuant à s'enflammer, elle occupera un bien plus grand volume qu'auparavant; & agiffant avec beaucoup de violence à droite & à gauche du point A, & particuliérement du côté où elle trouvera moins de réfiftance, qui eft celui du boulet qu'elle chaffera du côté de la bouche, avec une grande quantité de poudre, qui n'aura pas encore eu le tems de s'enflammer, & la vîteffe du boulet augmentant dans la même raifon du volume de la poudre enflammée, il fe trouvera dans un instant chasse en G pour fortir de la piece. Or fi dans le tems que le boulet a parcouru l'efpace E G, la poudre qui l'accompagnoit n'a pu être enflammée entièrement, il en fortira une quantité F avec le boulet, qui s'écartera comme du petit plomb, au lieu que fi la piece avoit été plus longue que je ne la fuppofe ici, le boulet ayant à parcourir un plus grand efpace, la poudre qui a été chaffée avec lui auroit eu le tems de s'enflammer, & par conféquent auroit été capable d'un plus grand effort: ainsi l'on peut conclure que la proportion qu'il doit y avoir entre DE & DG, c'est-à-dire entre la charge & la longueur de la piece, doit être telle que la poudre acheve de s'enflammer entiérement à l'instant que le boulet fort de la piece; d'où il fuit qu'un canon qui eft chargé plus qu'il ne faut, ne chaffe pas pour cela fon boulet plus loin, & même au contraire, puifque plus il y aura de parties entre la poudre |