TABLE Pour régler l'épaiffeur qu'il faut donner aux pieds droits des voûtes des magasins à poudre. 20 S ΙΟ pieds. pie. pou. lig. pie. pou. lig. pie. pou. lig. pieds pou. lig. 88 2 O 7 4444 024760 7 2 8 6 7 4 ΙΟ 4 7 3 6 90 7 8 8 8 8 9 8 ୨ O ୨ 8 6 7 0 3o 9G OG ONO S 6 6 10 6 4 ୨ 6 34 35 36 Après avoir parlé des magasins à poudre, je crois qu'on verra avec plaifir de quelle maniere fe fait le choc des bombes qui tombent fur leurs voûtes, afin qu'on fente la différence qu'il y a de confidérer les chofes comme elles nous paroiffent, ou telles qu'elles font en elles-mêmes, & que les Mathématiques donnent fur ce fujet des connoiffances que la pratique plus habiles Bombardiers ne peut appercevoir, Application des principes de la méchanique au jer des bombes. I 1120. Nous avons fait voir (art. 1118 ) que pour trouver la force avec laquelle une bombe tomboit fur un plan, il falloit multiplier sa pesanteur par la racine quarrée de la hauteur où Ffff elle s'étoit élevée, & nous avons agi comme fi la bombe tomboit felon une direction perpendiculaire à l'horizon, & comme fi le plan qu'elle choquoit étoit de niveau avec la batterie. Mais comme les bombes ne tombent que rarement par des directions perpendiculaires aux plans qu'elles rencontrent, & que le plus fouvent elles tombent fur des furfaces qui font plus élevées que la batterie, le problême dont je viens de parler, n'eft pas abfolument jufte, parce qu'on y fait abftraction des deux circonftances précédentes; & fi on ne les a pas fait entrer, c'est qu'on n'étoit pas encore prévenu du principe de méchanique expliqué ci-devant. Mais comme il ne reste plus rien à defirer à ce fujet, voici comme il faut raifonner. Si la ligne AB marque l'élévation du mortier fur le plan horizontal A C, & que la parabole A HD ait été décrite par la bombe, la ligne AB qui va rencontrer l'axe prolongé de la Pl. XXXII. parabole, fera la tangente de cette courbe menée du point A, Figure 404. & la ligne BD fera une autre tangente menée du point D: mais quand un corps eft jetté par une direction qui n'est pas perpendiculaire à l'horizon, la direction felon laquelle ce corps: choque un plan, eft marquée par la tangente menée le par point de la parabole, où le corps rencontre le plan: ainsi la bombe qui aura décrit la parabole AHD, choquera le plan AC, felon la direction BD; mais comme cette ligne eft oblique au plan AC, fi la force de la bombe eft exprimée par la ligne FD, elle ne choquera pas le plan avec toute la force FD: car fi l'on abaiffe FE perpendiculaire fur AC, & qu'on faffe le parallelogramme EG, la force FD fera égale aux forces FG & FĚ (art. 1039) agiffantes ensemble; mais la force FG parallele à l'horizon, n'agit point du tout fur le plan AC: il n'y a donc que la force exprimée par FE, qui choque le plan; ce qui fait voir que le choc de la bombe, felon la direction BD, eft au choc de la même bombe, felon la direction perpendiculaire BI, comme FE eft à FD, ou comme BI est BD, c'eft-à-dire comme la foutangente eft à la tangente, ou bien comme la tangente de l'angle de l'élévation du mortier eft à la fécante du même angle, ou encore comme le finus de l'angle de l'élévation eft au finus total: ainfi fuppofant que l'angle BAI foit de sodegrés, l'on peut dire que le choc de la bombe tombant, felon la direction perpendiculaire BI, eft au choc par par la direction BD, comme 100000 cst à 76604. A ne confidérer que le choc des bombes qui tombent fur un plan horizontal, il femble que ce que l'on vient de dire ne foit pas d'une grande utilité, parce que les bombes que l'on jette dans les ouvrages, foit de la part des Affiégés ou des Affiégeans, font toujours beaucoup plus d'effet par leurs éclats, quand elles crevent, que par le poids de leur chûte; & fi le poids avoit lieu dans ce cas-ci', ce ne feroit qu'à l'occafion des fouterreins que l'on pratique dans les Places fous les remparts pour les différens usages auxquels ils font propres : mais comme le choc d'une bombe mérite plus d'attention lorfqu'elle tombe fur un édifice que les Affiégeans ont intérêt de ruiner, comme un magafin à poudre, dont il s'agit de percer la voûte, qui eft un plan incliné à l'horizon, c'eft particulié rement la chûte des bombes dans ce cas-ci qu'il nous faut exa miner. Si l'on a un mortier au point A pour jetter une bombe fur le plan incliné KL, & qu'on veuille fçavoir quel eft le choc de la bombe, qui après avoir décrit la parabole A HD, viendroit tomber à un point D du plan incliné, je confidere que la bombe frappant le point D, agit felon fa direction BD, qui eft une tangente menée par le point D de la parabole. Or fi l'on prend la ligne FD pour exprimer la force de la bombe, lorfqu'elle eft prête à tomber fur le plan incliné, cette force étant oblique au plan, n'exprimera pas la force avec laquelle la bombe choquera ce plan, mais feulement la force de la bombe en elle-même : & fi du point F l'on mene la ligne FE perpendiculaire fur KL, elle exprimera la force avec laquelle la bombe choquera le plan incliné : car faifant le parallélogramme GE, l'on aura les côtés FE & FG, qui exprimeront deux forces, lefquelles agiffant enfemble, feront égales à la feule FD; mais la force FG étant parallele au plan KL, n'agit point du tout fur ce plan. Il n'y a donc que la ligne FE qui exprime le choc de la bombe: ainfi l'on peut dire que le choc d'une bombe qui tombe obliquement fur un plan incliné eft au choc de la direction perpendiculaire, comme FE eft à FD, ou comme le finus de l'angle FDE eft au finus total, étant tombée de la même hauteur. Si l'on vouloit fçavoir quel eft ce rapport, il faudroit chercher l'angle FDE, que l'on trouvera en connoiffant la valeur de l'angle KDC, formé par l'horizon & le plan incliné, de Ffff ij Figure 405 Figure 406. plus l'angle d'inclinaifon BAD du mortier, qui eft égal à BDA: ainfi fuppofant l'angle BDA de 50 degrés, & l'angle KCD de 70; fi on les ajoute enfemble, l'on aura 120 degrés, qui étant fouftraits de deux droits, la différence fera 60 degrés pour la valeur de l'angle FDE, dont le finus eft 86602, par conféquent le rapport du choc de la bombe, felon la direction perpendiculaire, eft à celle, felon la direction oblique FD, comme 100000 est à 86602. Tout le monde croit (& l'on a raifon dans un fens ) que plus les bombes tombent de haut, & plus le choc fur le plan qu'elles rencontrent eft violent. Cependant ceci n'eft vrai que quand le plan que la bombe rencontre eft de niveau avec la batterie, parce que tombant de fort haut, elle décrit fur la fin une ligne courbe, qui approche fort de la verticale; mais quand le plan eft incliné à l'horizon, la chûte par la verticale même eft celle qui choque le plan incliné avec moins de violence que par toutes les autres directions poffibles, qui feroient entre l'horizontale & la verticale, fi les bombes tombent d'une hauteur égale; & ce n'eft que quand la tangente menée au point de la parabole qui rencontre le plan incliné, eft perpendiculaire à ce plan même, que la bombe choque avec toute fa force abfolue. Or pour faire enforte qu'une bombe tombe fur un plan incliné par une direction perpendiculaire, il faut connoître l'angle d'inclinaifon que forme le plan avec l'horizon, & pointer le mortier fous un angle qui foit égal au complément de celui du plan incliné. pa Par exemple, fi fur le plan incliné KL, on éleve la perpendiculaire BD au point D, qui aille rencontrer la perpendiculaire BE, élevée dans le milieu de l'amplitude AD de la rabole, & qu'on tire la ligne AB, l'angle BAD fera celui qu'il faut donner au mortier pour chaffer la bombe au point D; mais cette angle eft égal à l'angle BDE, lequel eft complément de l'angle KDC, puifque BDK eft droit: donc l'angle BAE, complément de l'angle d'inclinaison, est celui qu'il faut donner au mortier, pour que la bombe choque le plan incliné par une direction perpendiculaire au même plan. Par cette théorie l'on pourroit déterminer quelle est la charge, ou fi l'on veut, quels font les degrés de force que doit avoir un mortier, & l'angle qu'il lui faut donner pour chaffer une bombe fur un plan incliné, enforte plan incliné, enforte que la bombe choque par ce plan avec toute la force qu'il eft poffible; démontrer même que lorfque les racines quarrées des différentes hauteurs d'où une bombe tombera fur un plan incliné, feront réciproquement proportionnelles aux finus des angles d'incidence formés les différentes directions des bombes, le choc fera toujours égal, & une quantité d'autres chofes, qui à la vérité font plus propres à exercer l'efprit, qu'à être miles en pratique. C'eft pourquoi je ne parlerai plus que de deux cas qui me reftent à expliquer; fçavoir quel eft le choc des bombes qui feroient tirées d'un lieu plus bas ou plus élevé que le plan incliné qu'elle doit rencontrer : & comme fçachant un de ces cas, il eft aifé de concevoir l'autre, voici celui qui regarde le plan incliné plus élevé que la batterie. Si par les regles du jet des bombes l'on a trouvé l'angle BAI pour donner au mortier une élévation convenable, afin de jetter une bombe au point D d'un plan incliné KL, plus élevé que l'horizon AP, l'on connoîtra l'amplitude A P de la parabole A HP, & par conféquent fon axe HI; & avant cela on aura dû fçavoir l'élévation DQ du point D fur l'horizon AP: mais fi la bombe au lieu de tomber en P, tombe en D, menant DO parallele à PA, la vîteffe de la bombe sera exprimée par la racine quarrée de H N. Or fi l'on prend la ligne FD pour exprimer cette force,& que l'on tire la ligne FE perpendiculaire au plan K L, le choc de la bombe au point D fera exprimé par la ligne FE, & non pas par la ligne FD, comme on vient de le voir. Or le rapport du choc perpendiculaire au choc oblique étant comme FD eft à FE, ou comme le finus total eft au finus de l'angle FDE, fi l'on veut avoir ce finus pour connoître en nombre le rapport de la ligne F D à la ligne FE, il faut chercher la valeur de l'angle MON, formé par l'ordonnée ON & la tangente OM, qui eft l'angle qu'il auroit fallu donner au mortier, fi la bombe avoit été tirée de l'endroit O, de niveau avec le point D. Pour le trouver confidérez que l'on connoît l'abfciffe HN, qui eft la différence de HIà HD, & que par conféquent on connoîtra aussi la foutangente MN, qui eft un des côtés du triangle rectangle MNO; & comme pour trouver l'angle que nous cherchons, il nous faut encore le côté ON, pour le trouver, l'on dira: Comme l'abfciffe HI eft à l'abfciffe HN, ainfi le quarré de l'ordonnée AI eft au quarré de l'ordonnée ON, que l'on trou |