Figure 4. Figure 1. Figure 2. Figure 3. Figure 5. XV I. 16. Une ligne perpendiculaire eft une ligne droite CD, qui aboutiffant fur une autre AB, ne penche pas plus d'un côté que de l'autre. XVII. 17. Le Quarré eft une figure rectiligne, formée par quatre côtés égaux, qui aboutiffent perpendiculairement les uns fur les autres. XVIII. ∙18. Le Rectangle eft un quadrilatere, dont tous les côtés ne font pas égaux entr'eux, mais feulement deux à deux, & qui aboutiffent perpendiculairement les uns aux autres. XIX. 19. Le Cube eft un corps qui a la figure d'un dez à jouer, renfermé par fix quarrés égaux, & dont toutes les dimenfions font égales entr'elles; cette figure étant la plus fimple de toutes, on y ramene tous les folides: c'eft pourquoi lorfqu'on propofe de trouver la folidité d'un corps on fe fert du mot cuber, qui fignifie la même chose. X X. 20. Le Parallelepipede eft un folide renfermé par fix recangles, dont les côtés oppofés font égaux, & qui n'a pas fes trois dimensions égales. 21. Il y a une maniere de confidérer les trois efpeces de l'étendue, c'est-à-dire la ligne, la furface, & le folide ou corps, qui eft très-propre à expliquer beaucoup de chofes en Géométrie; c'eft d'imaginer la ligne compofée d'une infinité de points, la furface compofée d'une infinité de lignes, & le corps compofé d'une infinité de plans. Pour faire entendre ceci, confidérez deux points comme AB éloignés l'un de l'autre d'une diftance quelconque ; fi l'on fuppofe que le point A fe meut pour aller vers le point B, fans s'écarter ni à droite ni à gauche, & qu'il laiffe fur fon chemin une trace d'autres points, la fomme de tous ces points formera une ligne droite AB, puifqu'il n'y aura point d'efpace dans la longueur AB, fi petit qu'il foit, que le point A n'ait par couru. Ainfi toute ligne droite peut être confiderée, comme formée par une multitude de points, dont la quantité eft exprimée par la longueur de la même ligne. 22. L'on concevra de même que le plan eft compofé d'une Figure 2. infinité de lignes; car fuppofant que la ligne AC fe meut le long de la ligne CD, en demeurant toujours également inclinée, il eft vifible que fi elle laiffe après elle autant de lignes qu'il y a de points dans CD, que lorfqu'elle fera parvenue au point D, toutes les lignes compoferont ensemble la furface BC. 23. Enfin fi l'on a un plan AB qui fe meuve le long de Figures &6, la ligne BC, & qu'il laiffe autant de plans après lui qu'il y a de points dans cette ligne, l'on voit que lorfqu'il fera arrivé à l'extrêmité C, il aura formé un corps tel que DB qui fera compofé d'une infinité de plans, dont la fomme fera exprimée par la ligne BC, pourvu que cette ligne foit perpendiculaire au plan générateur. 24. Comme on entend par la génération d'une chofe les parties qui l'ont formée, il s'enfuit, felon ce qui vient d'être dit, que le point eft le générateur de la ligne; la ligne eft la génératrice de la furface, & la furface génératrice du corps; & par conféquent le point peut être lui-même confidéré comme le principe générateur de toute forte de grandeur. 25. Si l'on fuppofe que la ligne AC foit de huit pieds, & Figure 2. la ligne CD de fix, & que l'on confidere ces nombres comme exprimant la quantité de points qui fe trouve dans ces lignes, l'on verra qu'en multipliant 8 par 6, le produit 48 fera la furface AD; car cette furface étant compofée d'une infinité de lignes, & chacune de ces lignes étant compofée d'une infinite de points, il s'enfuit que la furface eft compofée d'une infinité de points, dont la quantité eft repréfentée par le produit de tous les points de la ligne CD, par tous les points de la ligne AC, c'eft-à-dire de fa longueur A C, par fa largeur CD, qui donne 48 pieds, qu'il faut bien fe garder de confondre avec le pied courant; car le pied courant n'eft qu'une longueur fans largeur, au lieu que ceux qui font formés par le produit de deux dimenfions, font autant de furfaces quarrées, qui fervent à mesurer toutes les fuperficies. 26. Or comme le folide eft compofé d'autant de plans qu'il Figure s y a de points dans la ligne CB, il faut donc multiplier le plan AB par la ligne CB pour avoir le contenu de ce folide; ainfi fuppofant que le plan AB vaut 48 pieds quarrés, & que le nombre des points de la ligne BC foit exprimé par 4 pieds courans, multipliant 48 par 4, on aura 192 pieds pour la valeur du folide A ̊C. Il faut encore faire attention que ces pieds font différens du pied courant, & du pied quarré, car ce font autant de folides qui ont un pied de long, un de large, & un de haut, qui font par conféquent dés cubes puifqu'ils ont les trois dimenfions égales: ainfi il faut remarquer que les lignes mefurent les lignes, les furfaces mesurent les furfaces, & les folides mefurent les folides; car la raison feule nous démontre que la mefure doit être de même nature que la chofe, ou la grandeur mefurée. 27. Mais comme il s'agit beaucoup moins 'ici de chercher la valeur abfolue des grandeurs, que le rapport qu'elles ont entr'elles, nous nous fervirons de lettres de l'alphabet pour exprimer les grandeurs, afin de rendre générales les démonftrations des propofitions que nous établirons. Pour concevoir la raifon de cette généralité, on fera attention que la généralité d'un figne dépend de fon indétermination; car dès-lors qu'une grandeur eft indéterminée, on peut l'appliquer à telle efpece de chofes que l'on voudra. Ainfi, par exemple, le nombre 7 étant indéterminé par rapport à l'efpece de fes unités, puifqu'il ne fignifie pas plus ne fignifie pas plus fept hommes que fept chevaux, on peut l'employer pour marquer telle efpece d'unités que l'on voudra, d'hommes ou de chevaux, &c. ainsi fon indétermination le rend d'autant plus général, & propre à 'Signer telle forte d'unité que l'on jugera à propos. Si donc l'indétermination d'un figne eft la plus grande poffible, fa généralité fera auffi la plus grande qu'on puiffe imaginer. Pour arriver à ce dernier degré de généralité, on remarquera encore qu'une grandeur ne peut être indéterminée qu'en deux manieres; fçavoir, la premiere par rapport à l'efpece feulement, & non pas à l'égard du nombre des unités, & la feconde par rapport au nombre & à l'efpece tout ensemble. De cette premiere claffe font les fignes de l'Arithmétique, qui font toujours indéterminés par rapport aux différentes fortes d'unités, & jamais à l'égard du nombre de ces unités; & de la feconde claffe font les fignes de l'alphabet ou les lettres, qui ne défignant aucune efpece en particulier, peuvent être employées pour les défigner toutes, & n'étant point fixées pour aucun nombre, peuvent auffi être employées à les repréfenter en général tous. Donc puifque l'indétermination des lettres eft la plus grande poffible, leur généralité est auffi la plus grande, & par conféquent tout ce qu'on démontre par leur fecours, eft démontré généralement. On remarquera encore que l'on auroit pu prendre tout autre caractere que ceux de l'alphabet, mais ces caracteres étant déja connus, il étoit naturel de s'en fervir, & c'est ce qui les a fait préférer à tout autre. 28. Pour exprimer une ligne, on fe fervira d'une des lettres de l'alphabet, a, b, c, d, e, &c; & pour exprimer un plan, on en mettra deux l'une contre l'autre pour marquer les deux dimenfions de ce plan; & pour marquer un folide, on en mettra trois de fuite, parce qu'un folide quelconque a trois dimenfions, & de plus, parce que l'on est convenu de représenter la multiplication de deux grandeurs, en mettant ces grandeurs les unes auprès des autres. Par exemple, ab repréfente un plan, dont les deux dimensions font a &b, & fe multiplient l'une par l'autre ; de même bcd représente un folide, dont les trois dimenfions font b, c, d, dont le produit a donné ce folide. 29. Comme dans une même propofition on nomme toujours les lignes égales par les mêmes lettres, & les lignes inégales par des lettres différentes; dès que l'on verra ab, cd, on jugera que ce font des rectangles, parce que leurs dimenfions font inégales, au lieu que aa fignifie un quarré, parce que les deux dimensions font égales. 30. De même quand on verra aaa, l'on jugera que c'est un cube, parce que les trois dimenfions font égales; & quand on verra abc, on jugera que c'est un parallelepipede, `puisque fes trois dimenfions font inégales. 31. Les caracteres de l'alphabet font bien plus propres à exprimer les grandeurs que les nombres; car quand je vois le nombre 8, je ne fçais s'il représente une ligne de huit pieds courans, ou un plan de huit pieds quarrés, ou un folide de huit pieds cubes; car un plan qui auroit quatre pieds de long fur deux pieds de large, auroit huit pour fa fuperficie; & un folide qui auroit fes dimenfions exprimées par une ligne de deux pieds, auroit auffi huit pieds cubes pour fa folidité. Ainfi dans les opérations que l'on fait avec les chiffres, il faut que la mémoire foit affujettie à retenir ce qu'ils fignifient, au lieu que celles qui fe font avec les lettres, ne la fatiguent aucunement, puifque la nature des grandeurs eft représentée les lettres mêmes; car dès que je vois aa, bcd, j'apperçois auffitôt que aa eft un quarré, & que bed eft un folide'; au lieu que fi ces grandeurs étoient repréfentées par des. nombres, je ne fçaurois ce qu'elles fignifient. par 32. Comme on fait avec les lettres de l'alphabet les opérations que l'on fait avec les nombres, c'eft-à-dire l'Addition la Souftraction, la Multiplication, la Divifion, & l'Extraction des racines, & que de plus on opére fur les quantités inconnues, de même que fur les quantités connues (& c'est encore un des grands avantages du calcul algébrique fur le numérique), on eft convenu de repréfenter les quantités connues par les premieres lettres de l'alphabet a, b, c, d, e, &c. & les quantités inconnues par les dernieres u, x, y, z, afin de les diftinguer des premieres. la 33. L'on fe fert en Algebre de quelques fignes pour indiquer les opérations que l'on fait fur les lettres: par exemple ce figne+fignifie plus, & défigne l'addition de la quantité qui le précéde à celle qui le fuit. Ainfi a+b marque que grandeur b eft ajoutée à la grandeur a; on fe fert même quelquefois de ces fignes dans les calculs numériques, & il y a des occafions où il vaut mieux dire 5+ 3. que 8, quoique l'un foit égal à l'autre. 34. Ce figne fignifie moins, & défigne la foustraction de la grandeur qui le fuit de celle qui le précéde. a—b, marque la différence de la grandeur à à la grandeur b. 35. Si l'on veut marquer le produit d'une grandeur par une autre, ou le faire en deux manieres, 1°.. en mettant le multiplicateur à côté du multiplicande, comme nous l'avons déja dit, no. 28. Ainfi ab repréfente le produit de apar b, bcd représente le produit des trois grandeurs b, c, d, les unes par les autres. 20. On défigne encore la multiplication de deux ou de plufieurs grandeurs, en mettant ce figne x entre deux, ainfi axb défigne le produit de a par b, de même ax bxc défigne celui des trois grandeurs abc, 2×3 x 4 défigne celui des trois nombres 2, 3, 4 qui vaut 24. Il eft même quelque fois. |