2 = 134. Pour multiplier deux grandeurs qui ont les mêmes lettres avec différens expofans l'une par l'autre, il faut écrire ces lettres les unes à côté des autres, & leur donner la fomme des expofans des deux facteurs: ainsi a3 × a2 = a¿+2 = a§ ; a2b3 × a1b2 = a2+4b3+2 = abs; car a3=aaa, & a2 = aa: donc ai x a2=aaa x aa= a; de même a'b3 = = aabbb, & a+b2 aaaabb: donc a2b3 x a+b2 aabbb x aaaabbaaaaaabbbbb. 135. Comme la Divifion fait toujours le contraire de la Multiplication, elle doit auffi fe faire par une voie oppofée : donc puifque la multiplication des quantités qui ont les mêmes lettres, avec différens expofans, fe fait par l'Addition de ces mêmes expofans, la Division doit fe faire par la Soustraction des expofans des lettres communes au dividende & au diviseur: ainfi — a3—2 = a,& c'est ce que l'on fait, lorfqu'après les avoir mis en fraction, on efface les lettres communes au numérateur & au dénominateur; car effaçant aa au numérateur & au dénominateur, il vient a au quotient, de même que par la Soustraction des expofans. Tout de même baaabbccccc abccc= = a2 aaabcc a3 aaa an a+b2c5 abc3, ce que l'on cût auffi trouvé a265 63 me encore a3b2 a3bc2 par la d2f3g4 en effaçant les lettres communes au numérateur & au dénominateur, ou bien en faifant la fouftraction des expofans a2—365—2 ab3. On voit à préfent ce que c'eft qu'un expofant négatif; car il eft évident que le négatif vient de la fouftraction d'un nombre plus grand, ôté d'un plus petit que lui : donc une quantité qui a un exposant négatif eft le quotient d'une certaine puiffance d'une lettre divifée par une plus haute puiffance de la même lettre; ainsi ai peut venir de 23, ou bien de ou de, &c, car ศ ; donc en divifant le numérateur & le dénominateur de la fraction par une même grandeur a3, il vient au quotient : mais on trouve auffi le quotient deen ôtant l'expofant du diviseur de l'exposant 3 du dividende, & le quotient eft 5 a3 a3s—a2; donc a = I : en général une lettre élevée à une puiffance négative est égale au quotient de l'unité, divisée par la même puiffance positive de la même lettre, a―2b3—b3 × 63 a I I m , & ainfi des autres. 136. Si l'exposant du diviseur est égal à l'exposant du dividende, la différence de l'expofant fera zero: donc a° a — 21/3 = a22 = a3—3, &c. Donc en général ao = 1 ; car une grandeur, divifée par elle-même, donne toujours 1 au quotient, puifqu'elle fe contient une fois. De la formation des Puiffances, des Quantités exponentielles ; & de l'extraction de leurs racines. 137. On appelle puiffance en général, tout produit qui réfulte de la multiplication d'une quantité multipliée plusieurs fois par elle-même. a3, a2, a font des puiffances de a, parce que ces produits réfultent de a, multiplié plufieurs fois par lui-même dans ces exemples il a été multiplié trois fois, deux fois, cinq fois, parce que les expofans font 3, 2 & 5. 138. Comme la multiplication d'une même lettre, qui a différens expofans, fe fait par l'addition des expofans (art. 134), les puiffances d'une quantité algébrique, qui a déja un expofant, ou les produits de cette quantité, multipliée plusieurs fois par elle-même, fe trouveront par l'addition de cet expofant, répétés autant de fois qu'il y a d'unité dans la puiffance à laquelle on veut élever cette quantité; mais l'addition répétée d'un même nombre fe fait par la multiplication: donc la formation des puiffances d'une quantité exponentielle fe fera en multipliant fon expofant par le nombre qui marque la puiffance à laquelle on veut l'élever: ainfi pour élever a2 à la 3e, 4o ou se puiffance, il faudra ajouter l'expofant 2 à luimême trois fois, quatre fois, ou cinq fois, ou, ce qui est la même chofe, le multiplier par 3, par 4, ou par 5, & l'on aura pour la 3,4°, ou 5e puiffance de a1; as, as, a1o. De même pour élever a b c à la cinquieme puiffance, il faudra multiplier les expofans des lettres a, b, c, qui font 2, 3, 4 par 5, & les -produits, mis à côtés des mêmes lettres, donneront la puif e ΙΟ fance demandée égale à a10,615, c20. De même la quatrieme puissance de c2 b3 ƒ ̃ est c3 b12 ƒ24, & ainsi du reste. 139. Si l'on avoit une fraction que l'on voulût élever à une puiffance, & dont le numérateur & le dénominateur fussent chacuns des quantités exponentielles, on l'éleveroit à cette puiffance en multipliant les expofans du numérateur & du dénominateur par l'expofant de la puiffance; car une fraction multipliée par une fraction est égale au produit des numérateurs, divifé par pour élever la fraction à la feconde puiffance, on écrira a263 celui des dénominateurs. Ainfi de même la 3o puissance de la fraction & ainfi des autres. 2 140. L'extraction des racines fait précisément le contraire de la formation des puiffances. Extraire la racine d'une quantité algébrique, c'eft chercher la quantité qui, multipliée par elle-même, a donné la quantité dont on cherche la racine, Comme il y a différentes puiffances, il y a auffi différentes racines: la racine quarrée d'une quantité algébrique eft la lettre ou quantité, qui multipliée une fois par elle-même, a donné le quarré propofé; la racine cube eft celle qui, multipliée deux fois par elle-mênie, a donné le cube propofé, ou bien dont l'expofant, multiplié par 3, a donné ce même cube. Si l'on veut indiquer cette racine, on se fert du figne V, que l'on appelle figne radical, & qui fert pour marquer toutes les racines, en mettant au deffus un chiffre qui marque la racine que l'on veut prendre. Ainfi V,V,V, font des fignes qui indiquent les racines feconde, troifieme, quatrieme ou cinquieme; quand on veut marquer une racine quarrée, on fous-entend presque toujours le 2, & l'on marque ainsi V: par exemple, Va2 indique qu'il faut prendre la racine quarrée de la quantité a2, Va indique que l'on prend la racine cube de a. La racine' quarrée de a2 eft a, car a x a donne a2; la racine cube de a' eft a, car a xax a donne a3: de même la racine quatrieme de a eft a, car a xaxaxa donne a*, & ainfi de fuite. 141. Comme l'extraction des racines eft une opération directement oppofée à la formation des puiffances, que celle-ci décompofe les quantités que l'autre avoit compofées, la maniere dont on doit la pratiquer doit auffi être directement oppofée à celle dont on fe fert pour l'élévation des puiffances. Mais (n°. 138.) la formation des puissances se fait, en multipliant l'expofant de la quantité que l'on veut élever par l'expofant de la puiffance à laquelle on veut élever cette quantité; donc l'extraction des racines fe fera en divifant l'expofant de la quantité donnée par l'expofant de la racine l'on que demande. Si l'expofant de la grandeur donnée eft divisible par l'expofant de la racine, on aura la racine exacte, finon on aura pour la racine cherchée une quantité, dont l'expofant fera une fraction, ou bien on fe contentera d'indiquer la racine, en la mettant fous le figne V, au deffus duquel on mettra un nombre qui marque la racine que l'on demande. Tout ceci s'entendra aisément par des exemples. Pour avoir la racine ·quarrée ou 2o de ab, je divife les expofans 2 & 6,par 2, expofant de la racine; je mets les quotiens 1 & 3 en expofant à côté des lettres ab, & j'ai pour la racine demandée a1b3; ( car lorfqu'une lettre n'a pas d'expofant, on lui suppose toujours l'unité pour expofant). Si l'on multiplie ab ou abbb par lui-même une fois, on aura ab ou aabbbbbb; donc ab3 est la racine quarrée de ab6; pour avoir la racine cinquieme de a112o, j'écris d'abord a*b*c*, & faifant la divifion des expofans par l'expofant 5 de la racine cinquieme, j'ai a2bc4= Valbisco de même 8a b'c12 2a3b3c 2absc+, car le cube de 2 eft 8, celui de a eft a3, de b3 est b3×3 ou b’ ́, celui de c4 eft c4×3 ou c12. I : 3 9 20 = Si l'on me demande la racine cinquieme de abs, comme les expofans 6 & 8 ne font pas divisibles par 5, exposant de la racine, je puis indiquer cette racine en deux manieres, ou bien en mettant le figne V avec un 5 au dessus devant la quan tité ab3, de cette maniere: Vab, ou bien en mettant aux lettres ab les expofans fractionnaires,, en cette maniere: ab3, & ces deux expreffions ab3, ou ab3 sont égales, car elles défignent chacune la racine cinquieme d'une même grandeur. 8 142. Il fuit delà, que lorsqu'on trouvera une quantité avec un expofant fractionnaire, on en pourra conclure l'on que prend prend la racine marquée par le dénominateur de cette même quantité élevée à une puiffance égale au numérateur de la frac-tion : ainfi a2=√a3 ̧ àa— √as, ab3 Va2b‡‚ àa3ba —√a x√b+, &c. 143. Il fuit encore des mêmes principes, que a = Vai; car par la fin de l'art. 135. a—3—, & par la même par tout ce que nous venons de dire ce que fignifie un expofant pofitif ou négatif entier, ce que fignifie un expofant entier, fractionnaire pofitif ou fractionnaire négatif, & enfin ce que c'eft qu'un expofant zero. A 144. Lorsqu'on aura une des expreffions précédentes, comme a a, at, a°, & autres femblables, on pourra prendre en leurs places leurs égales, ou, Vat, & x à la place de a°, fi cela eft à propos, & réciproquement substi tuer les premieres expreffions à la place des fecondes, fi le calcul le demande ainfi. Voici les formules générales de toutes ces expreffions: a -m m Si l'on avoit des fractions algébriques, dont on voulût extraire les racines, on extrairoit celle du numérateur & celle du dénominateur, fuivant les regles précédentes, en fuppofant que les deux termes font des quantités incomplexes: car puifque l'on éleve les fractions à des puiffances propofées, en Y élevant le numérateur & le dénominateur (art. 139), il faut, par la raison contraire, extraire les racines, en prenant celle du numérateur & celle du dénominateur. Ainfi la racine feconde de 4663 la racine 3e ou cubique de a364 |