1 De la formation des Puiffances, des Polinomes, & de l'extrac tion de leurs racines. 145. On trouve les puiffances des quantités algébriques: complexes de la même maniere que celles des quantités algébriques incomplexes, c'est-à-dire en multipliant ces quantités par elles-mêmes autant de fois moins une qu'il y a d'unités dans l'expofant de la puiffance à laquelle on veut élever cette quantité. Pour avoir le quarré de a+b, je multiplie a + b par a+b, & j'ai (art. 60.) a2+2ab+bb. De même le quarré ou la feconde puiffance de a-b eft a2 zab+bb: d'où il fuit que généralement le quarré d'un binome contient toujours les quarrés des deux termes, plus ou moins deux rectangles du premier par le fecond; plus, lorfque les deux termes font pofitifs ou négatifs, & moins lorfque l'un ou l'autre est négatif: car il eft clair que-a-b× -a-b donne a2+rab +bb, de même que a+bx a+b; & que a+bxdonne a- ·2ab+b2, auffi-bien que a-b xa-b. a+b Si la quantité que l'on veut élever au quarré avoit plus de deux termes, 4 ou 5, par exemple, comme a+b+c+d, on trouveroit toujours le quarré de cette quantité, en la multipliant une fois par elle-même: mais on peut le trouver d'une maniere beaucoup plus expéditive. Je prends d'abord les quarrés de tous les termes qui compofent cette quantité, foit que tous ces termes foient pofitifs, foit que tous foient négatifs, ou qu'il y en ait de pofitifs & de négatifs. Je prends enfuite le double du premier terme, que je multiplie par tous les fuivans, en donnant au produit le figne du premier terme, fi chacun des fuivans a le même figne que ce premier terme, & un figne différent fi celui du terme par lequel je multiplie le double du premier eft différent de celui du même premier. Je prends pareillement le double du fecond, que je combine avec les fuivans par multiplication, en fuivant la même regle; je prends de même le double du troifieme, que je combine encore de même avec les autres, jufqu'à ce que je fois arrivé à l'avant dernier, que je combine avec le dernier de la même manie, & l'opération eft achevéc Ainfi pour élever a+b-c+d-f+gà la feconde puiffance |--- .-. Je —2c, je prends d'abord tous les quarrés pofitifs des termes qui compofent cette quantité, & j'ai pour une première partie du quarré que je cherche a2 + b2+c2+d2+ƒ2+g2 : je prends enfuite le double du premier terme a, qui eft 2a, que je combine par multiplication avec tous les fuivans, & j'ai pour une feconde partie du quarré que je cherche zab zac + zad 2af+2ag, en donnant le figne+aux termes qui ont le même figne que 2a, & le figne à ceux qui ont le figne prends pareillement le double de b, qui eft 2b, & le combinant, ainfi que j'ai fait pour a, avec ceux qui le fuivent, j'ai 2bc + 2bd — 2bf+2bg pour la troifieme partie du quarré que je cherche. Je prends encore le double dec,qui eft — & j'ai — 2cd + 2cf2cg, en mettant aux termes qui ont le figne- & à ceux qui ont le figne +. Je trouve de même, en prenant le double du quatrieme termed, qui est 2d, 2df +2dg; & enfin prenant le double de-f, qui est 2f, je trouve 2fg pour la derniere partie du quarré que je cherche. Ajoutant toutes ces parties, j'ai pour le quarré demandé a2+b2 + c2 + d2 +ƒ2 + g2+ zab - 2ac + zad -2af+2ag 2bc + 2bd — 2bf+2bg — 2cd+2cf 2cd+2cf2cg 2df2dg2fg. La preuve de cette pratique fe fera en multipliant cette quantité par elle-même, & l'on trouvera les mêmes quantités, quoique dans un ordre différent. Mais la valeur du quarré ne dépend pas de l'ordre dans lequel les termes font difpofés: il fera toujours le même, pourvu qu'il y ait autant de termes qu'il doit y en avoir, & que chacun d'eux ait le figne qu'il doit avoir. On pourroit encore fe fervir du même abrégé, fi les termes avoient des coefficiens différens de l'unité. Par exemple, le quarré de 3a 2b+ 4c fe trouvera en suivant cette méthode, 9a2 +462 + 16c2 — 1 2ab +24ac 16bc. - De l'Extraction de la Racine quarrée, des Quantités algébriques complexes. 146. Pour extraire la racine quarrée d'une quantité algé, brique complexe, par exemple, celle de la quantité a2 + zab +bb, il faut dire, la racine de aa efta, qu'il faut poser à la racine: ayant multipliée cette racine par elle-même, il faut êter le produit aa de la quantité propofée pour avoir le refte 2abbb enfuite il faut doubler a, & diviser le refte zab 4bb par ce divifeur 2a. Faifant la divifion de zab par 2a, il vient b, qu'il faut mettre à la fuite de la racine, & à la fuite du divifeur 2a. Enfin il faut multiplier par ce quotien: b le diviseur devenu za+b, & foustraire le produit 2ab+bb du refte zab bb; & comme il ne refte rien après la foustraction, l'on conclura que la racine de a2+2ab+bb, est a + b. Pour voir fi l'on a bien fait l'opération, on multipliera la racine a+b par elle-même, & comme le produit eft a2 + zab +bb égal à la quantité propofée, on fera fûr que l'on a bien opéré! 147. Pour extraire la racine quarrée de a2 —— 2ab+ bb, ik faut dire, la racine quarrée de a2 eft a, qu'il faut mettre à la racine; enfuite ôter le quarré aa de cette racine de la quantité propofée pour avoir le refte, 2ab+bb, qu'il faut pareillement divifer par + 2a, le quotient eft, que je pofe à la racine, & à côté du divifeur. Je multiplie za- b parb, le produit eft-2ab+bb; ôtant ce produit de zab+bb, comme il ne reste rien, je conclus que ab est la racine. 148. De mne pour avoir la racine quarrée de la quantité 9a2 12a/ 462 + 24ac — 1 6bc + 1·6c2. -16bc+1.6c2 je dis, lacine quarrée de 9a eft 3a, que je pose à la racine, & j'ote le quarré de cette racine de la quantité propofée: pour avo le refte 12ab+ 4b2 + 24ac — 16bc +16c2, jedouble cette racing 34, & j'ai 6a pour divifeur. Je divife 12ab par -- Ca, le quotient est - 26, que j'écris à la racine, à côté de 3a, & à côté du divifeur 6a; ce qui me donne 6a- 2b, que je multiplie par 2b, pour avoir le produit→ 12ab+4bb, que j'écris au deffous du premier refte avec des fignes contraires pour avoir un fecond refte, en effaçant ce qui le détruit, que je trouve être 24ac 16bc + 16c2 je double encore ce que j'ai trouvé à la racine pour avoir le nouveau divifeur 6a -46, par lequel je divife le premier terme 24ac du second refte; ce qui me donne au quotient 4c, que j'écris à la fuite de la racine, & à côté du divifeur 6a - 46: je multiplie cette fomme le même quotient 4c, & j'en ôte le produit 24ac 1.6bc+ 16c2 du dernier refte; & comme la Soustraction fe fait fans refte, je conclus que 3a-2b+ 4c eft la racine du quarré propofé: je leve cette quantité au quarré, & je trouve qu'elle donne effectivement une quantité égale à celle Fon avoit donnée pour en extraire la racine. -- par que za—2b+4c, racine. 6a premier diviseur. 2.4.ac 6a +4c 16bc+16cc Il eft évident que la méthode dont on fe fert pour extraire la racine doit la faire trouver néceffairement, fi la quantité propofée en a une: car nous avons déja vu plufieurs fois que le quarré d'une quantité complexe contient le quarré du premier terme, le double du premier par le fecond, & le quarré du fecond. Lorfque l'on a pris la racine quarrée du premier terme, on a celui de la racine: ainfi pour avoir le fecond de la même racine, il n'y a qu'à doubler ce premier, & divifer par ce double un terme qui renferme deux lettres; & fi l'on a un quotient, ce fera le fecond terme de la racine, pourvu que le quarré de ce fecond terme foit encore contenu dans la quantité propofée. Or par notre méthode on prend le quarré de ce terme, puifque l'on ajoute ce nombre au divifeur pour multiplier le tout par ce fecond terme; & s'il ne refte rien, on sera für que la quantité est un quarré parfait, & de plus celui des deux termes que l'on a trouvés, puifque l'on a pu en soustraire le quarré du premier, le double rectangle du même premier par le second, & le quarré du fecond. Le raifonnement eft toujours le même, quelque foit le nombre des termes de la racine; car on peut toujours regarder ce que l'on a trouvé comme le premier, & ce que l'on cherche comme le fecond d'une quantité de deux termes, puifque l'on peut toujours réduire un polinome quelconque, comme a+b+c+ dà un binome, en supposant a+b+c=f; ce qui donne a+b+c+d=f+d. l'on que l'on 149. Si la quantité propofée pour en extraire la racine n'est pas un quarré parfait, on fe contentera d'indiquer que en prend la racine, en la mettant fous le figne V, appelle radical, comme nous avons déja vu : ainsi la racine de aa bb est √aa—bb, la racine de a2 - 2 b c + ac eft a2 — ibc + ac, & l'on appelle ces quantités, des quantités radicales ou irrationnelles, quelquefois incommenfurables. De la formation du quarré d'un nombre quelconque, & de l'extraction des racines fur les grandeurs numériques. 150. Le quarré d'un nombre quelconque fe trouve en multipliant ce nombre par lui-même: ainfi le quarré de 3247 fe trouveroit en multipliant ce nombre une fois par lui-même, fuivant les regles de la Multiplication. Mais pour déterminer avec plus de précision les différentes parties qui composent ce quarré, & faire entendre plus aifément ce que nous avons à dire fur l'extraction des racines, nous rapporterons la formation du quarré de ce nombre à celle du quarré d'une quantité algébrique complexe, en le regardant lui-même comme une quantité de cette nature, & le décompofant en fes parties 3000+ 200+40 +7, & faifant 3000a, 200=b,40=c, 7=d: donc le quarré 3247, ou de 3000 + 200 +40 +7 fera représenté par celui de la quantité algébrique a+b+c+d, qui eft a2+2ab+b2+2ac +2bc + c2+2ad + 2bd2cd +dd, ou a2+2ab+b2+za+2b×c+c2+za+2b+26 × d+d2, |