en 51 combien de fois 5, il y eft neuf fois : mais comme je vois que le 9 eft trop fort, je paffe au 8; je pofe 8 à côté du divifeur & au deffous, & je multiplie 58948 par 8: le produit cft 471584; & comme il eft moindre que le nombre 519184, je pofe le 8 à la racine, qui fe trouve de 29.478, ou, ce qui revient au même, 29 entiers, plus 3.

478

1030

1000

164. Si l'on fuppofe que le nombre 869 foit un nombre de toifes quarrées, ce que l'on trouve à la racine au rang des entiers, marque des toifes linéaires, & le nombre que l'on trouve au rang des décimales, marque des parties de toifes linéaires, comme des pieds, des pouces, & des lignes. Pour fçavoir ce que vaut de pieds la partie décimale ou 0.478, on multipliera, fuivant la regle (art. 131.) le nombre 478 par 6, qui marque combien la toife contient de pieds; & le refte par 12, qui marque combien le pied vaut de pouces, & le refte encore par 12, qui marque combien le pouce vaut de lignes. En fuivant ce procédé, tous les nombres qui fe trouveront hors les décimales, marqueront les parties de la toife que l'on demande, qui font 2 pieds 10 pouces 4 lignes 11 points, ou fi l'on veut, à caufe du refte que l'on a encore négligé dans les décimales, 2 pieds 10 pouces 5 lignes. La racine du nombre 869 toifes eft donc 29 toises 2 pieds 10 pouces 5 lignes.

9

72

165. Si l'on a un nombre compofé de toifes, pieds & pouces propofé pour en extraire la racine, comme fi l'on demandoit celle du nombre 24 toifes 3 pieds 9 pouces, il faudroit réduire les fractions & de toifes, qui font la même chofe que 3 pieds 9 pouces, en fractions décimales de la toife, fuivant la méthode de l'art. 128; de la fomme de ces deux fractions décimales, & du nombre propofé faire un feul nombre, que l'on trouvera de 24.625000, dont on extraira la racine, fuivant les méthodes données ci-devant; cette racine fe trouvera de 4,962, c'est-à-dire de 4 toifes, plus 26 de toifes que l'on évaluera, fuivant la méthode de l'art. 131, & que l'on trouvera -de 5 pieds 9 pouces 3 lignes 2 points.

; 1000

Démonftration de la Racine quarrée.

166. Pour démontrer les opérations précédentes, nous extrairons encore la racine quarrée du nombre 676, & nous ferons voir la raison de chaque opération.

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le

On voit par les articles 152, 153, 154 & 155 pour quelle raison on divife le nombre donné en tranches de deux chiffres chacune, & comment chaque tranche doit donner un chiffre à la racine. Cela pofé, pour extraire la racine de 676, après avoir partagé le nombre en tranches de deux chiffres chacune, excepté la premiere qui n'en contient qu'un, je dis, la racine quarrée de 6 eft 2, que je pofe à la racine, & qui vaut 20, puifqu'il doit y avoir deux chiffres à la racine, dont il eft le mier. Lors donc que j'éleve 2 au quarré, & que je retranche 4 de 6, c'eft comme fi j'élevois 40 au quarré, & que je retranchaffe 400 de 600, puifque le 6 vaut réellement 600. Selon la regle, j'abaiffe la feconde tranche à côté du reste 2, & j'ai 276 : je mets un point fous le 7, parce que nous avons fait voir que double du premier terme, multiplié par le fecond, doit fe trouver compris dans les deux premiers chiffres 27 (no. 150); mais j'ai le double du premier, & ce nombre 27 contient le double du premier, multiplié par le fecond: donc en divifant 27 par le double du premier, je dois trouver le fecond: je fais la Divifion, & je dis, en 27 combien de fois 4, il y eft fix fois: je mets le 6 à côté du divifeur & au deffous, felon la regle; ce qui me donne néceffairement par la Multiplication le quarré de 6, lequel doit être contenu dans les deux derniers chiffres: je dis donc fix fois 6 font 36, je pofe 6 & retiens 3; fix fois. 4 font 24, & 3 de retenus, font 27, le produit eft 276: donc le 6 eft le fecond chiffre de la racine: donc 26 est la racine du nombre propofé, puifque ce nombre contient le quarré du premier 2 ou 20, qui eft 400, le double du premier 40, multiplié par 6 ou 240, & enfin le quarré 36 du second.

Le raifonnement que nous faifons pour une racine de deux chiffres fe peut appliquer à tout autre; car on pourra toujours partager un nombre quelconque de chiffres en deux parties, dont la premiere contiendra tous les chiffres, excepté le dernier à droite, & la feconde contiendra le dernier chiffre. De cette maniere, on verra que lorfqu'on aura trouvé la racine des premiers chiffres, le refte qui viendra, joint avec la derniere tranche, doit contenir le double des premiers chiffres trouvés, multiplié par le dernier avec le quarré du dernier. -D'ailleurs ce double produit fera toujours placé de maniere, que les chiffres fignificatifs de ce même produit feront toujours terminés au premier chiffre de la derniere tranche: donc

en faifant la Division, on doit trouver le dernier chiffre. Ceci peut encore fe démontrer indépendamment de cette fuppofition, par la formation du quarré, expliquée au no. 150, & même on ne peut mieux faire que d'y recourir encore, pour voir de quelle maniere on a déduit de cette formation la regle que nous venons de voir; c'eft en cela que confifte l'efprit géométrique, & c'est par l'étude de la compofition des quantités que l'on acquiert le grand art de les décompofer; je dis le grand art, car c'eft le plus difficile de toute la Géométrie, & la décompofition des quantités eft fon objet dans toutes les méthodes de calcul que l'on propose.

De la formation du Cube d'une quantité complexe, & de l'extraction de la racine cube des quantités algébriques & numériques.

167. Nous avons déja vu, no. 61, que le cube d'une quantité, compofée de deux termes, contient le cube du premier terme, le cube du fecond, plus deux parallelepipedes, dont le premier a pour base le triple du quarré du premier, & le fecond pour hauteur, & l'autre a pour bafe le triple du quarré du fecond, & pour hauteur le premier; ce que nous avons démontré généralement, en élevant a+b à fon cube, que nous avons trouvé a3 + 3a2b+ zab2 +b3.

168. Le cube d'une quantité, compofé de trois termes, ou de quatre termes, fe trouvera de même fe trouvera de même, en multipliant cette quantité deux fois de fuite par elle-même; mais on peut la trouver plus aifément, en rapportant la quantité à l'expreffion générale a+b, qui peut repréfenter une quantité complexe quelconque, en faifant, par exemple dans celle-ci, c+d+f +g, c+d=a, &f+g=b. Voici de quelle maniere on s'y prendroit pour élever tout d'un coup c+d+f+g au cube. On prendroit d'abord le cube de c+d, qui eft c3 + 3c2d + 3cd+di, & de même le cube de f+g, qui eft f3 + 3f2g +3fg2+g3; on prendroit enfuite le triple du quarré dec+d que l'on trouvera de 3c2+6cd+ 3d, que l'on multipliora par f+g, ce qui donnera 3c2f+6cdf+ pd2f + 3c2g+6cdg +3dg. De même on prendra le triple quarré de f+g, qui fera 3ff+6fg+ 3g', que l'orultipliera par c+d, & Fon aura 3cff+6cf+3cg2 + ff+6dfg+3dg2; ajoutant tous ces produits enfemble on aura pour le cube total de

la grandeur c+d+f+g, la quantité c33cd3cd2. +d3 +ƒ3 +3ƒ3g+3fg2+g+3c2f+6cdf + 3d2f+ 3c2g +6cdg+3d2g + 3¢ƒfƒ +6cfg+3cg2+3dff+6dfg+ 3dg2. 169. Quand cette méthode n'auroit pas l'avantage d'être plus expéditive, & moins fujette à jetter dans l'erreur, elle devient ici néceffaire, pour faire connoître comment on peut ramener la formation du cube d'une quantité complexe de tant de termes que l'on voudra, à la formation du cube, du binome a+b; & pour montrer pareillement comment l'extraction des racines cubes des mêmes polinomes fe rappelle à l'extraction de la racine cube de a+b.

&

De même fi l'on vouloit élever au cube la quantité complexe 30+2d5f, on feroit 3c + 2d =a, & 5f=b. Cela pofé, on chercheroit d'abord a3, que l'on trouveroit en élevant le binome 3c+ 2d au cube, fuivant la regle du binome a+b, qui eft 2703 +54c2d + 36cd2 + 8d. On chercheroit enfuite le triple du quarré du premier terme, multiplié par le fecond, ou 3a b qui eft 135cf + 180cdf+60df. On prendroit de même le triple du quarré du fecond, multiplié par le premier, ou zab qui fetrouveroit être 225cf2+150df2 : enfin on auroit pour bou le cube du fecond terme, 125f3.En affemblant toutes ces quantités, on auroit pour le cube du trinome 3c+2d+5f, 27c3 +54c2d + 36cd2 + 8d3 + 135c2f + 1·80cdf + 60d2f + 225.cf2 + 150df2 + 125ƒ3.

De l'Extraction des Racines Cubes des quantités algébriques.

REGLE GENERALE.

170. Pour extraire la racine cube d'une quantité algébrique, il faudra prendre d'abord la racine cube d'un des termes de cette quantité, qui fera un cube parfait, & l'écrire à la racine: pour avoir le fecond terme de la racine, il faudra prendre le triple du quarré du premier terme que l'on vient de mettre à la racine, & par cette quantité divifer un terme du polinome propofé qui puiffe donner un quotient exact, il faudra ajouter à côté du divifeur le triple du premier terme, multiplié par ce quotient, le quarré du même quotient, & multiplier le tout par le même quotient; & fi le polinome propofé eft un cube parfait, & n'a que quatre termes, il faut que le: produit qui viendra, foit égal à ce qui refte de la même quan

tité, après en avoir retranché le cube du premier terme. EXEMPLE I.

171. Soit propofé d'extraire la racine cube du polinome a3 +3a2b+3ab2+b3. Ayant difpofé cette quantité à la gauche d'une barre verticale, comme on le voit ci-après, je dis, la racine cube de a eft a, que je pofe à la racine : j'éleve cette racine à fon cube, & ôtant a3 de la quantité propofée, il me vient pour reste za2b+3ab2+b. Pour avoir le fecond terme de la racine, j'éleve la grandeur a à fon quarré, dont le triple 3a2 me fert de divifeur, que je place au deffous de la racine. Je cherche dans le refte un terme divisible par 3a, & je vois que le premier de ce reste 3ab eft effectivement divifible par 3a2, & me donne au quotient b. J'écris au deffous du divifeur 3a2 la quantité fuivante, 3a2 + 3ab+b2, qui contient le triple du quarré du premier terme, le triple du premier par le fecond, & le quarré du fecond ou du quotient b: je multiplie cette quantité par le même quotient b, & j'ai za2b + zab2 +b3, qui eft égal au refte, & me fait voir que b eft le fecond terme de la racine. Je le mets donc à la fuite de a, ce qui me donne a+b pour la racine cube demandée.

172. Soit encore propofé d'extraire la racine cube de la quantité 2763 +54c2d+ 36cd8d. Ayant écrit cette quantité à la gauche d'une ligne verticale, de l'autre côté de laquelle je dois mettre la racine, je dis, la racine cube de 270 est 30, puifqu'en élevant 3c au cube, j'ai 27c3: j'ôte ce cube de la quantité propofée, le reste est 54c2d+36cd+ 8d. Je triple le quarré de ce qui eft à la racine, & j'ai pour divifeur 27c. Je cherche dans le refte un terme qui foit divifible par 27c2, ce terme eft 54c'd, qui me donne au quotient 2d: j'écris au