deffous du divifeur le même divifeur 2742, avec les termes fulvans, +18cd+4dd, je multiplie toute cette quantité par le quotient 2d; & comme le produit eft 54c'd + 36cd2 +8d3 égal au refte, je conclus que 2d eft le fecond terme que je cherche, & je le mets à la racine, qui est 3c +2d. 173. Si la quantité devoit avoir plus de deux termes à la racine, on suivroit toujours le même procédé, c'est-à-dire que l'on prendroit pour divifeur le triple du quarré de ce que l'on auroit trouvé pour divifer le refte par cette quantité, & le quotient qui viendroit se détermineroit de la même maniere que l'on a déterminé le fecond terme de la racine. Par exemple, fi l'on me propose d'extraire la racine cube de la quantité 27c3 +54c2d + 36cd2 + 8d3 + 135c2 ƒ + 180dcf + 60d2ƒ +225cf2 +150df2+125f. Après avoir trouvé les deux premiers termes de la racine 3c+2d, avec le refte 135c2f, &c. comme il eft marqué ci-après, pour avoir le troifieme terme de la racine, il faudra prendre pour divifeur le triple du quarré de ce qui eft à la racine, que l'on trouvera être 27c2 +36cd +12dd: on cherchera donc un terme qui foit divifible par 27c2: ce terme eft le premier du dernier refte 135cf, lequel divifé par 27c2, donne sf au quotient: j'écris au deffous du divifeur ce même divifeur, avec les quantités fuivantes, 45cf +30df+25ff, dont les deux premiers termes font le triple de ce qui eft à la racine, multiplié par le quotient sf; le troifieme, le quarré du même quotient sf: je multiplie toute cette quantité par 5f, & comme le produit qui en résulte détruit tous les termes du dernier refte, étant pris en moins, je conclus que 5f eft le troifieme terme de la racine, & je le pofe à la fuite des autres. C ARTICLE 173. Refte (135c'f+180dcf+60d'f+53c+zd+5ƒ, racine. 225cf2 +150df2 +125f3 -135c2f 180def 60df (2762+36c d+12dd,div. 27c2+36cd+12dd +45cf ·225cf2 — 150df 125f3 Produit négatif. o +30df+25ff× 5f DEMONSTRATION. Cette pratique porte fa démonftration avec elle; car il est évident qu'en la fuivant, on doit reconnoître fi la quantité propofée eft un cube, puifque l'on ôte de cette quantité toutes les parties qui forment le cube d'une quantité complexe. Quand on a un peu d'habitude au calcul, on voit tout d'un coup fi une quantité propofée eft un cube parfait; car fi elle ne contient que deux termes, trois termes, ou cinq, fix, sept, huit, neuf, & non pas dix termes, on fera fûre qu'elle n'eft point un cube parfait; car elle ne peut être cube parfait que d'un binome ou d'un trinome, ou d'une quantité plus compliquée, & le binome ne donne que quatre termes à fon cube, & le trinome en donne dix: donc les intermédiaires ne font pas des cubes. De la formation algébrique du Cube d'un nombre quelconque, & de l'extraction de racine cube de quantités numériques. 174. Pour élever un nombre comme celui-ci, 47 à fon cube, on peut le faire en deux manieres, ou en multipliant 47 par lui-même pour avoir fon quarré 2209, & multipliant encore ce quarré par 47, ce qui donnera 103823, ou bien en se servant de la formule a + 3a2b + zab2 + b3: pour cela, je regarde le nombre 47 comme une quantité complexe, que je repréfente par a+b; fçavoir 40 par a, & 7 par b, ce qui me donne 40+7=a+b. Je cherche d'abord as en élevant 40 au cube, & j'ai a3 = 64000: je prends enfuite le triple du quarré de 40, que je multiplie par 7, pour avoir-3ab, ce qui me donne 3a2b33600. Je cherche pareillement 3ab, ou le triple du premier, multiplié par le quarré du fecond, ce qui donne 3ab25880: enfin pour b3, j'ai b3 343. Raffemblant toutės = ces égalités, on aura 64,000 = a3 33,600 3a2b 5,880 = 3ab2. 63 103,823 =a+b3 Sur quoi l'on remarquera, 1°. Qu'en divifant les produits particuliers & le cube total en tranches de trois chiffres chacune, excepté la derniere à gauche, qui peut n'en contenir que deux ou un; que le nombre 64, cube du premier chiffre 4 de la quantité 47, a après lui autant de tranches de trois qu'il y a de rangs de chiffres à fa racine; fçavoir une tranche de ,000 après 64, & un chiffre 7 après 4 dans 47** 2°. Que le produit représenté par 3a2b eft placé de maniere que le triple du quarré de 4 ou 16, qui eft 48, multiplié par 7 ou 336, a deux zero après lui: donc il aura auffi deux chiffres après lui dans le cube total, & fera contenu dans les chiffres qui fe terminent au premier 8 de la feconde tranche. 3°. Que le produit repréfenté par 3ab2, ou le triple 12 du premier chiffre 4, 4, multiplié par 49, quarré du fecond, a un rang de chiffres après lui, puifqu'il eft 5880; & qu'enfin le cube du fecond chiffre 7 eft renfermé tout entier dans la feconde tranche. Ceci fuppofé, il fera facile d'entendre la méthode de l'extraction de la racine cube que nous allons donner, après quelques remarques, qui font abfolument néceffaires, pour qu'il n'y ait rien à défirer fur cette partie. Pour extraire la racine cube d'une quantité quelconque, il faut d'abord connoître les cubes des neuf premiers chiffres ; ce que l'on connoîtra par le moyen de la Table fuivante, qui fuffit, lorfque les nombres propofés n'ont que trois chiffres. 2 3 5 6 7 8 9 ΙΟ 2764 1252163435127291000 175. On remarquera d'abord que le plus grand nombre de trois chiffres ne peut avoir qu'un chiffre à fa racine cube, car le plus grand nombre de trois chiffres eft 999, & le plus petit de deux chiffres eft 10, dont le cube 1000 eft de quatre chiffres fres; ainfi toutes les racines cubes d'un chiffre font comprifes inclufivement depuis 1 jufqu'à 999. 176. Le plus grand nombre de fix chiffres ne peut en avoir que deux à la racine; le plus grand nombre de fix chiffres eft 999999, & le plus petit de trois chiffres eft 100, dont le cube eft 1000000, qui a fept chiffres, & eft plus grand que 999999. Ainfi toutes les racines cubes de deux chiffres font comprises depuis 1000 jufqu'à 999,999 inclufivement. que 177. Le plus grand nombre de neuf chiffres ne peut en avoir trois à la racine; car le plus grand nombre de neuf chiffres eft 999999999, & le plus petit nombre de quatre chiffres eft 1000, dont le cube eft 1000000000 qui contient dix chiffres, & eft néceffairement plus grand que 999999999; d'où il fuit que les racines cubes de trois chiffres font comprifes, depuis 1000000 jusqu'à 999,999,999 inclufivement. 178. En continuant toujours le même raisonnement, on verra qu'en général un nombre propofé doit avoir autant de chiffres à sa racine cube qu'il aura de tranches de trois chiffres chacune, excepté la premiere à gauche, qui peut n'en contenir que deux ou même un, mais que l'on regarde toujours. comme une tranche; car 999 ne donne qu'un chiffre à la racine, comme on l'a démontré, art. 175, & ce nombre ne contient qu'une tranche de trois chiffres. 1000 donne deux chiffres à la racine cube, parce que, outre la tranche des trois il contient encore une tranche d'un chiffre. De même 999999 ne peut donner que deux chiffres à la racine, ainsi que tous les intermédiaires entre lui & 1000, parce qu'ils ne contiennent que deux tranches, & ainfi des autres. zero, Tout cela pofé, nous allons donner la regle générale, & l'appliquer à quelques exemples. Regle générale pour l'extraction de la Racine cube des quantités numériques. 179. 1°. On commencera par partager le nombre donné en tranches de trois chiffres chacune, en comptant pour une tranche la premiere à gauche, qui peut ne contenir que deux chiffres, ou même un feul. 2o. On cherchera le plus grand cube contenu dans la premiere tranche à gauche, on en prendra la racine, que l'on N pofera à la droite du nombre propofé, après en avoir féparé la racine par une barre verticale. On élevera cette racine à fon cube, que l'on ôtéra de la premiere tranche, & l'opération sera achevée pour cette tranche. 3o. A côté du refte que l'on aura trouvé, en ôtant le cube du premier chiffre de la racine de la premiere tranche, on abaiffera la feconde tranche, en obfervant de mettre un point fous le premier chiffre de cette feconde tranche: pour avoir le fecond chiffre de la racine, on élevera le premier au quarré, donr on prendra le triple, qui fera le divifeur dont il faudra fe fervir pour trouver le fecond chiffre de la racine. 4°. On divifera les chiffres terminés à celui fous fequel on a mis un point, par le divifeur trouvé, & l'on aura un quotient, que Fon éprouvera comme il fuit, avant que de le pofer à la racine. Il faudra ajouter ensemble les produits représentés par za2b + zab2 + b2, c'eft-à-dire le produit du divifeur par le chiffre que l'on éprouve, le triple du premier terme de la racine par le quarré du même chiffre, & enfin le cube de ce même chiffre, en obfervant de les placer avant l'addition, de maniere qu'ils fe paffent tous d'un chiffre en avant. Il faudra ôter la fomme de la feconde tranche, jointe au refte au refte que l'on a trouvé, & fi la fouftraction fe peut faire, on mettra le chiffre à la racine, finon il faudra diminuer d'une unité, jufqu'à ce que la fomme de ces produits foit moindre, ou tout au moins egale aux chiffres fur lefquels on opere. Si le nombre propofé n'a que deux tranches, l'extraction fera faite, & la racine fera la racine exacte que l'on cherche, fi la fouftraction n'a pas donné de refte. Si le nombre avoit encore d'autres tranches, on les abaifferoit l'une après l'autre à côté du dernier refte, en déterminant les divifeurs, & les chiffres que l'on doit mettre à la racine, comme on a fait pour le fecond chiffre de la même racine. EXEMPLE I. 180. Soit propofé d'extraire la racine cube du nombre 103823. Après avoir partagé ce nombre en tranches de trois chiffres chacune, je dis, en 103 quel cft le plus grand cube qui y foit contenu? Ce cube eft 64 (comme on le peut voir ailément par la Table des cubes), dont la racine cube eft Je pose 4 à la racine, à la droite du nombre propose, après 4 |