extrêmement curieux, l'un fur le rapport de deux triangles qui ont un angle égal, compris entre côtés inégaux, qui eft d'un grand ufage dans la Géodéfie, & l'autre fur la maniere de trouver l'aire d'un triangle, dont on connoît les trois côtés. La démonstration que j'en donne eft une des plus fimples que l'on puiffe trouver: le lecteur en jugera par la comparaison avec celles de la même propofition qui fe trouvent dans les autres Livres. Après avoir examiné les principales propriétés des lignes & des furfaces, je paffe, dans le huitieme Livre, à la théorie des folides ou corps, dont je recherche les propriétés par rapport à leurs fuperficies & à leurs folidités. J'enseigne la maniere de toiser, non feulement les prifmes, les pyramides, les cônes, les spheres, mais encore les différentes parties de ces corps. A l'occafion de la pyramide tronquée, je donne une méthode générale pour trouver une furface plane femblable à deux autres propofées, & moyenne géométrique entre ces deux, fans être obligé d'extraire de racines quarrées. Je donne enfuite la maniere de trouver des folides qui aient entr'eux une raison donnée, & je fais voir d'où dépend la folution des problêmes de ce genre, qui ont tous rapport à la duplication du cube. La méthode que j'ai fuivie dans ce Livre eft entiérement différente de celle qui fe trouve dans les autres Elémens; elle est si fimple, qu'en moins de feize propofitions, on voit tout ce qu'Archimede a découvert de plus beau fur la sphere, & de ma théorie, je laiffe entrevoir celle de toifer toutes fortes de voûtes en plein ceintre, qui auroient pour base des polygones réguliers quelconques, Ces huit premiers Livres font comme une premiere partie partie du Cours de Mathématique. Afin d'en faire voir l'utilité, on a mis après chaque propofition des corollaires qui en montrent la fécondité; & l'on voit avec admiration l'étendue de la Géométrie dont il fuffit de fçavoir les premiers élémens pour découvrir les mêmes vérités qui femblent fe préfenter d'elles-mêmes à notre efprit, pour établir davantage l'utilité & l'importance des premieres, & qui femblent par-là s'empreffer de nous dédommager des premiers foins que nous avons pris pour arriver à la connoiffance de ces premieres vé rités. Comme les fimples élémens renfermés dans les huit premiers Livres ne font pas fuffifans pour entendre beaucoup de chofes intéreffantes, qui font traitées dans les fuivans, principalement la théorie du jet des bombes, & le toifé des voûtes qui demande une connoiffance au moins élémentaire des propriétés des fections coniques, je donne dans le neuvieme Livre un petit Traité, où j'explique les principales propriétés de ces courbes par rapport à leurs axes & à leurs diametres, dont je recherche les tangentes, & fur lesquelles je donne quelques problêmes. Le dixieme Livre qui comprend la Trigonométrie & le nivellement, peut encore être regardé comme un des plus néceffaires à un Ingénieur, dont tout l'Art dépend de ces deux parties; la premiere dans la guerre, & la feconde dans la paix, où il peut être chargé de l'exécution des projets les plus importans, & qui ont abfolument befoin de la fcience du nivellement. On enseigne dans ce Livre l'ufage des Tables des Sinus, Tangentes, Sécantes, & de leurs Logarithmes; la théorie du calcul des triangles, que l'on applique enfuite à me b furer les hauteurs & les diftances inacceffibles ou acceffibles; à la maniere de calculer les parties d'une fortification, pour la tracer enfuite fur le terrein. Comme la mesure des diftances inacceffibles eft de la derniere importance dans les travaux militaires, je donne des problêmes nouveaux fur la maniere de les déterminer, par le moyen de certaines lignes connues qui fe trouvent déja déterminées. Ces problêmes, dont la solution dépend des principes précédens, méritent l'attention de ceux que j'ai eu en vue: ainfi ils ne peuvent mieux faire que de les étudier avec foin. Le onzieme Livre est un Traité du calcul ordinaire des ouvrages de maçonnerie, où j'explique en même tems le toifé des bois. Cette partie eft encore néceffaire aux Ingénieurs, qui font quelquefois obligés de faire les devis & détails de tout ce qui doit entrer dans l'exécution des ouvrages néceffaires dans une fortification. On l'a traité d'une maniere fi claire & fi facile, que les Commençans pourront en peu de jours se rendre familiers ces fortes de calculs. : Dans le douzieme Livre, on fait une application générale de la Géométrie à la mesure des folides réguliers & irréguliers, qui peuvent fe rencontrer dans la pratique par exemple, on y enfeigne la maniere de toifer la folidité des voûtes en plein ceintre, ou en tiers point; celles des voûtes elliptiques furbaiffées, ou furmontées fur des plans circulaires ou rectilignes. J'ai ajouté auffi dans cet endroit un Traité du Toifé des furfaces des voûtes à pans en plein ceintre, & des voûtes en lunettes, fans autre fecours que les propriétés du cercle. Je donne auffi le Toifé du folide de ces mêmes voûtes. Enfuite on applique les mêmes principes à toifer les revêtemens d'une fortification, par exemple, les orillons & les flancs concaves, les arrondiffemens des contre-forts, les pyramides tronquées qui fe trouvent aux angles des mêmes ouvrages, & l'onglet d'un batardeau. Enfin je termine cette partie par l'expofition d'un principe général pour trouver les furfaces & les folides engendrés par les mouvemens d'une ligne droite ou courbe, & une furface rectiligne ou curviligne autour d'un axe de révolution, par le moyen du centre de gravité de ces lignes ou furfaces génératrices. Cette découverte peut être regardée comme une des plus importantes que l'on ait faite en Géométrie. Tout le monde convient que l'on en eft redevable au P. Guildin: enforte que l'on appelle ce principe communément la Regle du P. Guildin. Le treizieme Livre eft encore une application des mêmes principes à la Géodésie ou division des champs en parties qui aient entr'elles des rapports déterminés, quelle que foit la figure du terrein que l'on veut partager, & en commençant la divifion par des lignes tirées d'un point donné. Delà je paffe à l'explication d'une machine connue de tout le monde, fous le nom de compas de proportion, parce que cet inftrument est réellement fondé fur la nature & les propriétés des proportions. Il peut être d'un grand ufage pour abréger les opérations dans un grand nombre de cas, comme pour trouver des lignes proportionnelles à des lignes données, pour couper des lignes données en parties égales, pour connoître les degrés d'un arc dont on a la corde, ou bien pour diviser un angle propofé en plufieurs parties égales, enfin pour trouver des furfaces ou des folides qui aient des raisons données avec d'autres furfaces ou d'autres folides propofés; ce qui peut avoir une application, leurs lorfqu'il faut déterminer le calibre des boulets par pefanteurs & réciproquement. Je donne enfuite un problême fort curieux fur la maniere de faire l'analyse de la fonte de chaque efpece de métal, dont le canon eft compofé: j'ai fait voir par-là comment on pouvoit appliquer à l'Artillerie des queftions qui lui paroiffent étrangeres, comme le problême d'Hieron, qui ne differe que de nom de celui-ci. Enfin je termine ce Livre par une differtation, où je recherche la longueur que doivent avoir les boulets relativement à leur calibre, pour que la force du boulet foit la plus grande qu'il eft poffible; & je rapporte un précis des expériences que j'ai faites depuis par ordre du Roi, pour reconnoître fi cette théorie étoit bien fondée, j'ai auffi ajouté une formule fort curieuse à ce que j'avois dit dans l'ancienne édition fur la maniere de nombrer les boulets en pile dans les Arcenaux : fur quoi l'on pourra remarquer une propriété des nombres triangulaires qui m'a paru mériter attention pour la fommation des nombres quarrés. Le quatorzieme Livre eft entiérement destiné à expliquer les regles du jet des bombes. Comme cette théorie a un rapport direct avec le mouvement des corps, j'explique d'abord les plus belles découvertes de Galilée fur les corps qui tombent, en vertu de la pefanteur, après avoir expliqué les regles principales du choc des corps durs, parce que cette partie a auffi un rapport direct au jet des bombes, où il faut eftimer la force que la bombe acquiert par la vîteffe que fa chûte lui communique, afin de connoître les effets qu'elle peut produire pour proportionner les ouvrages qui doivent être à l'épreuve de la bombe à la force du choc. Je donne auffi des folutions géométriques & algébri |