de mefine que le quatrième que l'on cherche le doit estre au troifiéme

La deuxième maniere de difpofer les trois termes donnez d'une regle de Trois, & qui devroit eftre la plus generale & la plus raisonnable, confifte à comparer toujours les chofes femblables entr'elles : ainfi les deux premiers termes, fui. vant cette methode, feront de mefme nature, & le troifiéme femblable à celuy que l'on cherche.

Avertißement I.
1.

Par ce qui vient d'eftre dit, il eft facile de concevoir que les termes d'une regle de Trois font correlatifs, & qu'ainfi le premier eftant comparé au deuxième, peut recevoir le nom d'Antecedent, comme celuy cy de Confequent. On fait le mefme jugement du troifiéme terme à l'égard du qua,

Puis que la Regle de Trois fuppofe une proportion entre fes termes ou entre fes nombres, & que la proportion eft une fimilitude de raisons; ce feroit icy le lieu d'expliquer ce que c'est que Raison. Mais j'en ay remis l'explication au Traité des Progreffions, pour commencer à propofer plufieurs questions à refoudre par la Regle de Trois.

Question premiere.

Un Particulier ayant acheté 5 tb, Aunes, Marcs, Sextiers, Muids, Toises, &c. qui luy ont coufté L. 100. Sçavoir com, bien luy coûteront 15 tb, Aunes, &c. qu'il defire avoir fur le pied du premier achat.

Pratique.

On voit par cette Propofition, que ce qui fait le fujet de la Question est 15, tb Aunes, & qu'ainfi ce nombre (15) doit

Z iij.

cftre placé au troifiéme terme. Et puisque le premier luy doit eftre femblable, il faut y écrire le nombre de(s) qui repre fentera auffi 5 tb ou aunes. Et enfin le deuxiéme terme eftant équivalent au premier, on y mettra L 100. qui en cet exemple font la valeur dudit premier terme, le tout comme cyaprés.

Si S b. ont coufté L. 100, comb. 15tb. Refp. 300 300 valeur desd. 15 tb.

IS

1500

Les Termes eftant ainfi difpofés, il faut generalement multiplier le deuxième nombre par le troifiéme, & divifer le produit par le premier, pour avoir au Quotient de cette Divifion le nombre ou terme requis. En cet Exemple, j'ay multiplié L. roo: deuxième terme, par 15, troifiéme terme de cette regle, & ay en fuite divifé leur produit 1500 pars pre mier terme, & le Quotient (300) eft le requis.

Avertisement F

Lévidente, que comme le Nombre (15) eft triple de (5) A Demonstration de cette pratique eft d'autant plus de mefme L. 300. valeur de 15 tb. font triple de L. 100, vas leur de lb. 5.

Avertisement 11.

On remarquera en ce lieu que la Divifion à l'Italienne eft beaucoup plus expeditive, moins embaraffante, & plus claire que les autres, en ce que l'on ne tranfporte point le Divisetir ny le Nombre à divifer le Nombre à divifer, que l'on n'y barre pas les Figures, fur lesquelles, par confequent, on peut commodement repaffer, & que la preuve s'en peut faire auffi fur le champ, fans déplacer les nombres qui fe doivent multiplier entr'eux, comme on verra cy-aprés.

Avertiffement. 111.

On auroit trouvé la mefme valeur que cy-deffus, c'est à dire le quatriéme terme inconnu, fi l'on avoit difpofé les trois termes compris en cette propofition, fuivant la deuxié me maniere cy-devant enfeignée.

Exemple.

Comme 5. Hb. fontàrs. fb. ainfi L. 100. font à L. 300. Car en l'une & en l'autre maniere le produit du deuxiéme & du troifiéme terme, eft toûjours femblable; & puifque le premier ne change point, le Quotient eft pareillemenr uniforme.

Autre Exemple.

Un Particulier ayant acheté 15 tb. aunes, &c. qui luy ont coûté L. 300, & defirant encore employer L. 100, en la mefme marchandise achetée fur ce pied; fçavoir combien il en aura de fb. d'aunes, &c.

La difpofition defdits trois termes propofés féra telle. Si pour L. 300. j'ay eu 15. Ib. ou aunes, combien en auray-je pour L. 199. Refp. s.fb.

Dans cette Propofition les 100 liv. eftoient le fujet de la Queftion; c'eftpourquoy on les a placées au troifiéme lieu de la Regle, & par confequent les 300 liv. au premier terme, & 15 liv. au deuxième, qui doit toûjours estre équivalent audit premier terme, & femblable à celuy que l'on cherche, pour le quatrième nombre requis.

4

Avertissement.

On auroit trouvé le mefme nombre inconnu, en difpofant les trois termes de la Question propoféë, fuivant la deuxiéme maniere, en cette forte.

Comme L. 300. font à L. 100. ainfi 15. Ib. font à 5. Ib.

De la Preuve de la Regle de Trois.

La Preuve de la Regle de Trois, fe fait generalement par une deuxième, en laquelle on propofe une Question contrai re à celle que l'on a propofée en la premiere, fçavoir en met tant au premier terme de la deuxième Regle, la quantité des chofes qui eftoient au troifiéme terme de la premiere, Et au troifiéme lieu de ladite deuxième Regle, celuy qui eftoit au premier terme de la premiere Regle, & placer au deuxième terme de ladite deuxième Regle, ce qui eft venu au Quotient de la premiere, c'eft à dire la valeur de ce qui eft au premier, puis operer comme en la Regle precedente.

Exemple.

Si 100 L. donnent 5. H. combien 300 L. R. 15. Æ.

300 15.00 Avertissement.

Il s'enfuit que la Preuve de toute Regle de Trois, fe fait par une fimple Multiplication du premier & du quatrième terme trouvé parce que cette Regle ne confiftant qu'en une Multiplication, & en une Divifion, & chacune de cellescy fe prouvant par une operation contraire; Il est évident qu'ayant fait la Divifion du produit de la premiere Regle de Trois ainfi qu'il a efté dit, il ne faut que multiplier le Quotient, qui eft venu pour le quatrième terine,par le Divifeur ou

premier

premier terme : parce que fi ce deuxième produit vient égal au premier, c'est une preuve convaincante de l'égalité gar dée dans la pratique de la premiere Regle. Le tout fondé fur cette maxime: Si quatre nombres font proportionnels, le produit des deux nombres extrêmes, multipliés entr'eux, eft égal à celuy des deux du milieu. Avertissement 1 I.

Puifque par ce qui a efté cy-devant dit, en parlant de la premiere maniere de difpofer les 3 termes d'une Regle de Proportion, le premier & le troifiéme doivent eftre de mefme Denomination, c'est à dire semblables; il s'enfuit que celuy-là eftant accompagné de quelque fraction, ou bien d'une ou de plufieurs fous.efpeces, il le faut réduire ou en la fraction telle qu'eft celle qui l'accompagne, ou en la moindre des fous-efpeces qui le fuivent, & que celuy-cy, c'est à dire le troifiéme terme, le doit pareillement eftre, ainfi qu'il fera facile de reconnoiftre dans les exemples fuivans, difpofés fuivant l'ordre que j'ay gardé dans l'Addition & dans la Souftraction, dans la Multiplication & dans la Division.

Application premiere fur les Avertiffemens cy-deffus,

Un Particulier ayant employé Liv. 5400. 16. en l'achapt de 18 pieces de Brocard ou d'autre forte de Marchandife, contenant en tout 360 aunes, defire fçavoir combien il devroit avoir d'aunes de la mefme Marchandise pour 9000. liv.

A