exprimées de la maniere qu'on vient d'expliquer, font re- Lorfque ces expofans font négatifs, cela exprime que la racine eft dans le dénominateur. Par exemple -x ex CETTE maniere d'exprimer les racines comme des puif Si l'on écrit ao qui eft prise pour l'unité, c'eft à dire que a représente l'unité, & vers la droite les puiffances positives prifes de fuite d'une grandeur quelconque a, dont les expofans font les nombres entiers pris de fuite; & vers la gauche les mêmes puiffancesde a au dénominateur d'autant de fractions, en donnant l'unité à chacune pour numerateur, comme 145. dans l'expreffion A; ou, * ce qui revient au même, fi l'on écrit vers la gauche de a°, qui eft prise pour l'unité, les puiffances négatives de a prifes de fuite, comme dans l'expreffion B. Toutes ces puiffances de a font une progreffion geo. metrique, le même rapport, qui regne dans la progreffion, c'eft à dire, le rapport de chacun des termes à celui qui le fuit immédiatement vers la droite, eft le rapport de 1 à ai & en allant de la droite vers la gauche, c'eft le rapport de a à 1. Les expofans de ces puiffances pris de fuite, font une progreffion arithmetique, & l'unité eft la difference qui regne dans cette progreffion. o, qui eft l'expofant de l'unité ou de a°, eft le terme de la progreffion arithmetique qui se trouve entre les expofans pofitifs & les negatifs. * Démonftration. 1o. Par raport aux puissances dont les expofans font les nombres entiers pofitifs pris de fuite. Pour avoir le rapport geometrique d'un terme à celui qui le fuit, il faut divifer le 115. premier par le fecond, &* le quotient en exprimera le rapport. Ainfi en commençant par l'unité le rapport de 1 àa' eft 1. Le rapport de a' à aa, est “1=1, & ainsi de suite; car le terme fuivant vers la droite, contenant un 1a de plus que celui qui le precede, le rapport d'un terme à celui qui le 109. fuit, fe réduira toujours à * 1. * * I 2°. Pour les puiffances dont les expofans font negatifs. Les termes qui font à la gauche de 1 ou a', dans l'expreffion A, ont tous l'unité pour numerateur, pour numerateur, ainfi les numerateurs font 121. égaux; par confequent le rapport de chacun de ces termes, à celui qui le fuit immédiatement, est égal au rapport des dénominateurs, en les prenant dans un ordre renverfé; 109. par exemple, .:: a. a' :: * 1. a. Mais il est évident I a? I 6 qu'en prenant ainfi deux dénominateurs voifins, dans un ordre renversé, l'un a toujours 1a de plus que l'autre ; ainfi, dans la progreffion geometrique A, en allant de la gauche à la droite, le rapport de deux termes voifins fe réduira 124. toujours à; & celui du terme 1 à 1 ou à¦, ou à aˆ = 1,*est auffi égal à Mais en allant de la droite à la gauche, le rapport de deux termes voifins fera égal à, qui eft l'inverse de I a 3°. Pour 3. Pour la progreffion arithmetique des expofans. Les expofans pris de fuite de la gauche à la droite, dans l'expreffion B, font, 1o, les nombres naturels, avec le figne qui diminuent d'une unité d'un terme à celui qui le fuit, jusqu'à zero, qui eft l'expofant de l'unité, 2°, les expofans depuis zero vers la droite font les nombres naturels 1, 2,3, avec le figne+, qui augmentent d'une unité d'un terme à celui qui le fuit; d'où l'on voit clairement qu'en ôtant un expofant quelconque de l'expofant qui le fuit vers la droite, la difference eft ; par confequent les expofans font une progreffion arithmetique, & la difference de chacun des termes à fon voisin eft 1. COROLLAIRE I. &c. 155. DANS la progreffion des puiffances d'une grandeur quelconque a', dont les expofans font des nombres entiers pofitifs, la 2o puiffance occupe le fecond rang depuis l'unité non comprife; fa 3 puiffance, le 3 rang; fa 4 puiffance, le 4o, & ainfi de fuite, c'eft à dire qu'une puiffance quelconque pofitive de a occupe, dans la progreffion depuis l'unité non comprife, le rang qui eft marqué par le nombre des unitez de fon expofant; par exemple, la io puiffance de a occupe le 10 rang depuis l'unité non comprise. Il en eft de même des puiffances negatives; par exemple, la 10° puiffance a ̄1o de a-1 I occupe le 10 rang en allant vers la gauche depuis l'unité non comprise. COROLLAIRE II. 156. DANS la progreffion des mêmes puiffances, a' racine 2o de a eft un moyen proportionnel entre 1 & la puiffance 2o de a. a' racine ze de a3 eft le premier de deux moyens proportionnels entre 1 & a3'. a' racine 4o de at eft le premier de trois moyens proportionnels entre l'unité &a;& ainfi de fuite: c'est à dire, que la racine quelconque d'une puiffance pofitive eft le premier d'autant de moyens proportionnels entre 1 & cette puiffance, qu'il y a d'unitez moins une dans l'expofant du figne radical de cette racine, qui eft toujours égal à l'expofant de la puiffance. Ainfi Va" a eft le premier de neuf moyens proportionnels qui font entre 1 & a'° dixié S me puiffance de a. Il est évident qu'il en eft de même des racines des puissances negatives. COROLLAIRE III. 157. D'où l'on voit que chercher la puiffance quelconque d'une grandeur a, ou élever cette grandeur à une puiffance quelconque, dont l'expofant est un nombre entier, c'eft fuppofer une progreffion geometrique, dont l'unité eft le premier terme, & la grandeur a le fecond, & chercher le terme de cette progreffion, qui occupe le rang depuis l'unité non comprife, qui eft marqué par le nombre qui eft l'expofant de cette puiffance; c'est à dire le second terme, fi l'on cherche la 2o puissance; le 3o terme, fi l'on cherche la 3o puissance; le 4o terme, fi l'on cherche la 4° puiffance, &c. COROLLAIRE IV. 158. D'où l'on voit auffi que chercher la racine quelconque d'une puiffance propofée, c'eft fuppofer une progreffion geometrique qui commence par l'unité, & dans laquelle on connoît la puiffance propofée, & le rang qu'elle occupe dans la progreffion par le moyen de l'expofant donné de cette puiffance, & chercher le premier d'autant de moyens proportionnels entre l'unité & la puiffance propofée que l'expofant donné de la puiffance propofée, qui eft auffi l'expofant du signe radical de la racine qu'on cherche, contient d'unitez moins c'est à dire, un seul moyen proportionnel entre l'unité & la puiffance propofée, fi c'est la racine 2o; le premier de deux moyens proportionnels entre l'unité & la puiffance propofée, fi l'on cherche la racine 3; le premier de trois moyens proportionnels entre l'unité & la puissance proposée, fi c'est la racine 4o que l'on cherche, &c. une; REMARQUE. DANS la multiplication & dans la divifion d'une gran. deur donnée par une autre grandeur donnée, on fuppofe une proportion dans laquelle trois termes font connus, fçavoir l'unité & les deux grandeurs données, & l'on cherche le quatriéme terme que la multiplication & la divifion font découvrir; mais quand on veut élever une grandeur donnée a à une puiffance quelconque, ou trouver la racine quelconque moyen de d'une grandeur donnée confiderée comme la puiffance de la PROBLEME. 159. ELEVER ane grandeur litterale incomplexe ou complexe à une puissance telle qu'elle puiffe ètre, dont l'exposant est un nombre entier pofitif qui eft donné. Operation. Il faut multiplier la grandeur qu'on veut élever à une puiffance quelconque, dont l'exposant est un nombre entier pofitif, laquelle grandeur fera nommée, pour abreger, la racine, 1o, par elle-même & le produit fera la 2o puiffance. 2o. Il faut multiplier cette feconde puiffance par la racine, & le produit fera la 3° puiffance. 3°. Il faut multiplier cette 3o puiffance par la racine, & l'on aura la 4° puiffance; & continuer ainfi de multiplier chaque nouveau produit par la racine jufqu'à ce qu'on foit arrivé à la puiffance dont l'expofant eft celui de la puiffance à laquelle on vouloit élever la racine. On appellera cette manière de multiplier une grandeur, & les produits qui naiffent par ordre de ces multiplications, par cette même grandeur, on la nommera, dis-je, la multiplication continuée ou réiterée de cette grandeur par elle-même. Ainfi pour élever une grandeur à une puif |