12.

exprime des parties décimales, autant de zeros qu'il en faur pour lui donner le rang qui lui convient par raport aux parties décimales plus petites aufquelles on le veut réduire. Ainsi pour réduire 0, 13", c'eft à dire treize centiémes en millioniémes, il faut écrire 0, 130000".

Ce Corollaire eft une fuite de la cinquiéme définition *. Car il eft évident que chaque unité d'un nombre entier contient dix dixiémes; qu'elle contient auffi cent centiémes, & de même mille millièmes, & ainfi de fuite. Par conséquent en faisant valoir chaque unité d'un nombre dix dixiémes, ou cent centièmes, ou mille milliémes, &c. on n'en change point la valeur. Or en mettant un zero, deux zeros, trois zeros, &c. devant un nombre, au devant du point qui diftingue les 12. parties décimales, on fait valoir, par la cinquiéme définition,* chacune des unitez de ce nombre, c'est à dire ce nombre là même, des dixièmes, des centièmes, &c. On doit feulement remarquer qu'il faut être exact à marquer le point ou la virgule qui fépare les unitez entieres des parties décimales ; & quand il n'y a que des parties décimales fans aucun nombre entier, qu'on doit mettre au devant vers la gauche,le nombre de zeros qu'il faut pour occuper les rangs jufqu'au nombre entier, & écrire un point ou une virgule au devant de ces zeros vers la gauche, & un zero au de-là du point ou de la virgule vers la gauche, pour faire connoître le rang où commenceroit le nombre entier, comme dans ces exemples: 0. 1300001. 0.000324. Le premier contient cent trente mille millionié& le fecond contient trois cens vingt-quatre millioniémes. Ainfi on remarquera qu'en ajoutant un zero, deux zeros, trois zeros, &c. au devant d'un nombre entier, fans mettre de point entre ce nombre & les zeros ajoutez, on fait valoir ce nombre dix fois plus, cent fois plus, mille fois plus, &c. qu'il ne valoit auparavant. Mais en mettant un point au devant de ce nombre, & écrivant au devant du point vers la droite

mes,

un zero, deux zeros, trois zeros, &c. on ne change point la valeur de ce nombre; mais on le réduit par là à valoir des dixièmes, des centiémes, des milliémes, &c. de l'unité ; c'est à dire, on exprime par-là combien ce nombre vaut de dixiémes, de centiémes, de milliémes, &c. de l'unité; ou bien encore, on partage par là toutes les unitez de ce nombre en dixiémes, centiémes, &c. car chaque unité contient dix

dixièmes de l'unité, cent centiémes, mille millièmes, &c.

I

COROLLAIRE VI.

Pour les nombres qui contiennent des parties décimales. 18. Si dans un nombre décimal quelconque, par exemple, 132. 456378o1, on avance le point qui diftingue les parties décimales d'avec les entiers d'un rang vers la droite, le nombre 1324. 56378 vaudra précisément dix fois plus que le précedent; car chacun des chifres vaudra par-là* dix fois plus *15. qu'il ne valoit. Si l'on avance le point de deux rangs, le nombre 13245.6378TM vaudra précisement cent fois plus qu'il ne valoit; car chacun des chifres vaudra par-là cent fois plusqu'il ne valoit. Si l'on avance le point de trois rangs, le nombre 132456.378 vaudra mille fois plus qu'il ne valoit, & ainfi de fuite.

Si au contraire on recule le point qui diftingue les entiers d'avec les parties décimales vers la gauche d'un rang, de deux rangs, de trois rangs, &c. le nombre propofé vaudra par ces changemens dix fois moins, cent fois moins, mille fois moins, &c. qu'il ne valoit. *

6 DEFINITIƠN.

19. UN nombre qui ne contient pas l'unité exactement; mais qui contient un certain nombre de parties égales, dans lesquelles on conçoit que l'unité eft divifée, s'appelle un nombre rompu, il s'appelle encore une fraction; ainsi un nombre qui contient deux tiers de l'unité, est un nombre rompu.

On marque chaque nombre rompu par deux nombres entiers de cette maniere. On tire une ligne, & l'on met au deffous le nombre qui exprime en combien de parties égales l'unité eft divifée, & on appelle ce nombre le dénominateur; on écrit fur la ligne le nombre qui marque combien le nombre rompu contient de ces parties, & on nomme ce nombre le numerateur. Ainfi est une fraction, le dénominateur 3 marque que l'unité eft partagée en trois parties égales qu'on nomme tiers, c'est à dire en trois tiers; & le numerateur 2 fait voir que la fraction contient deux de ces parties, c'est à dire deux tiers, ou deux fois.

16.

L

COROLLAIRE.

20. I1 eft évident que tous les nombres, foit entiers, foit rompus, ont entr'eux une mefure commune, qui eft l'unité, ou quelqu'une des parties égales, dans lefquelles on peut concevoir que l'unité eft divifce, par laquelle ils font exactement mefurez.

7 DEFINITION.

21. ON démontrera dans la fuite qu'il y a des grandeurs, qu'on peut représenter par des lignes droites, qui font telles qu'en prenant l'une de ces grandeurs pour l'unité, en quelque nom. bre de parties égales qu'on puiffe la concevoir divifée, jamais les autres n'auront pour mesure commune exacte aucune de ces parties égales. On nomme ces grandeurs incommenfurables, ce qui fignifie qu'elles ne peuvent avoir aucune mefure commune. Les grandeurs incommenfurables ont des expreffions particulieres que l'on expliquera dans la fuite. Principes pour les grandeurs litterales, qu'on nomme aussi algebriques.

8 DEFINITION OU SUPPOSITION.

22. On peut exprimer une grandeur quelconque par une lettre de l'alphabet: par exemple, on peut reprefenter une ligne droite donnée quelconque par la lettre a; on peut exprimer une autre ligne droite differente par b. On peut de même exprimer un nombre quelconque donné par une lettre a, & un autre nombre par 6. Il en eft de même de toute autre grandeur.

Dans les Problêmes on repréfente les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet a, b, c, d, &c. & les grandeurs inconnues que l'on cherche, par les dernieres z, y, x, &c.

༢.

On nomme les grandeurs ainfi exprimées, litterales, & encore algebriques.

AVERTISSEMENT.

LES Commençans ont d'ordinaire de la peine à se fixer dans l'efprit les grandeurs que l'on représenté par les lettres;

pas

parcequ'en effet ces expreffions litterales ne marquent pas des grandeurs particulieres, mais des grandeurs confiderées en general; & cela eft caufe que quand on leur apprend le calcul de ces lettres, ils s'imaginent ne le pas apprendre; & quoiqu'il foit le plus facile & le plus fimple de tous les calculs qu'on peut imaginer, & qu'ils le conçoivent d'abord, ils s'imaginent ne le pas concevoir; parcequ'ils n'attachent les idées particulieres des grandeurs particulieres aux expreffions litterales, & qu'à caufe de cela ils n'en voyent pas l'utilité. Mais ils ne doivent pas fe rebuter, ils verront dans la fuite que la fcience de ce cafcul litteral, & de la maniere de s'en fervir, eft la clef pour s'ouvrir l'entrée à toutes les découvertes; qu'on a le plaifir d'apprendre par ce moyen toutes les Mathematiques, comme fi on les inventoit foi-même; que les Mathematiques font devenues fi faciles, par l'invention de ce calcul & de la maniere de l'employer, que chaque trait de plume donne naiffance à des découvertes; qu'on a fait des progrès furprenans dans les Mathematiques depuis l'invention de ce calcul, & depuis qu'on l'applique à réfoudre les Problêmes de ces fciences; qu'il fait trouver des réfolutions fimples & generales de tous les cas des Problêmes qu'on veut réfoudre, & qu'il fait fouvent découvrir avec une très grande facilité, fous une expreffion qui n'occupe pas une ligne, qui même quelquefois ne contient que quatre ou cinq lettres, la réfolution d'une infinité de Problêmes. Ce calcul a l'avantage d'augmenter, pour ainfi dire, l'étendue de notre efprit, en lui repréfentant, fous des expreffions fimples & abregées, les objets les plus compofez, & l'infini même: & outre cela il ne fatigue point l'imagination.

Pour ôter aux Commençans autant qu'il eft poffible la peine qu'ils pourroient trouver dans les calculs des expres fions litterales, qui ne leur peut venir que de ce qu'ils n'attacheroient à ces expreffions que les idées generales des grandeurs en general, il eft bon de les avertir ici qu'ils peuvent attacher à chaque lettre une ligne droite qu'ils détermineront de la longueur qu'ils voudront, & fuppofer qu'une lettre représente une ligne droite, une autre lettre repréfente une autre ligne droite, & s'ils le trouvent plus commode, ils pourront fuppofer que l'une de ces lettres repréfente une ligne droite, qui contient un certain nombre de parties éga

les comme un certain nombre de pouces, qu'une autre lettre représente une autre ligne droite qui a un autre nombre des mêmes parties égales; cela n'empêchera pas que les lettres ne leur repréfentent les grandeurs en general: car il est évident qu'il n'y a pas de grandeurs qu'on ne puiffe repréfenter par des lignes droites.

B

23. ON diftingue les grandeurs en pofitives & négatives. Dans le commerce, par exemple, le bien qu'a un Marchand eft une grandeur pofitive; les dettes qu'il a, font des grandeurs. négatives. Dans les lignes & dans toutes les grandeurs qu'on peut représenter par les lignes, pour diftinguer la maniere de prendre une ligne comme CAB, en allant de bas en haut, de la maniere de prendre la même ligne BAC dans le fens contraire, en revenant de haut en bas, on nomme la ligne prise dans l'un de ces fens pofitive, & négative prife en l'autre fens. Ainfi fi l'on fuppofe que CAB prise en allant de C en B eft pofitive, elle fera négative prise en fens H

D:

E

contraire en defcendant de B en C. De même fi l'on prend FDE pour pofitive, en allant de gauche à droite, elle fera négative, en revenant de droite à gauche de E vers F. COROLLAIRE I

24. D'où l'on voit que ces deux fortes de grandeurs pofitives & négatives, font les unes aux autres des retranchemens mutuels: par exemple, la grandeur pofitive CAB, allant de C à B, étant pofée, fi l'on met deffus la négative plus petite BA, en retournant de B vers C, elle retranchera BA de la quantité pofitive BAC, & il ne restera plus de la positive que CA; & fi l'on ajoute encore la négative AC, qui jointe à BA est égale à la pofitive CB, elle retranchera entierement la pofitive CA, & il reftera zero. Si l'on met une grandeur négative BG plus grande que CB, fur la pofitive CB, alors il restera la négative CG. De même si un Marchand a 100000 livres de bien, & qu'il ait des dettes files dettes font moindres que le bien, il lui refte le furplus du