177 & dividende eft représenté par le premier des produits de la for187. mule, dans lequel b eft lineaire. Ainfi pour trouver le second caractere représenté par 6, il faut prendre le produit du premier caractere déja trouvé, qui eft représenté par le premier des produits de la formule du même degré, dans lequel best lineaire, divifé par b, c'est à dire, fans b; ce produit eft repréfenté par za pour le quarré, par 3a2 pour la 3e puiffance, par 4a3 pour la 4o, & ainfi des autres : & divifer le dividende par ce produit, le quotient qu'on trouvera fera le second caractere de la racine représenté par 6 de la formule. b Il faut former à part tous les produits, des deux premiers caracteres déja découverts, qui font repréfentez par ceux de la formule du degré de la puissance numerique, dont on cherche la racine. Ajouter ces produits dans une fomme, obfervant qu'ils foient placez dans les rangs qui leur conviennent; & après avoir écrit au devant du dividende tous les chifres q, r, s, &c. qui restent dans la tranche B, ce qui fera le fecond membre de l'extraction, il faut retrancher de ce fecond mem, bre la fomme des produits, & écrire le reste au dessous. Dans notre exemple il faut transporter 8, premier chifre à gauche de la tranche B, devant le refte 4 de la premiere operation: & 48 fera confideré comme un dividende: & fuppofant que a de la formule représente le premier chifre 2 de la racine, & que *187. b représente le fecond qu'on cherche, le dividende 48 doit contenir le produit représenté par za1b, qui eft formé par 3a2 multiplié par b. Dans ce produit le fecond carattere de la racine repréfenté par beft inconnu, & c'est celui qu'on cherche; mais à repréfenté par a étant connu, il faut former le produit représenté, par za fans b, & l'on aura 3 × 4 = 12 = 3a2, que l'on prendra pour divifeur. Il faut divifer le dividende 48 par 12 = 3a2, Et le quotient qui eft 3 ( car on verra bientôt que fi l'on prenoit 4 pour le quotient, on trouveroit qu'il feroit trop grand) eft le fecond caractere de la racine que l'on cherche, qui eft représenté par b; il faut écrire 3 à la racine devant 2. Il faut enfuite former à part les trois produits représentez par 3a2b3ab2 + b3, & l'on trouvera 3600+ 540 + 27, qu'il faut écrire les uns fous les autres dans les rangs qui leur conviennent; les ajouter ensemble, & après avoir écrit les chifres 9&s de la tranche B devant le dividende pour en compofer le fecond membre 4, 895, retrancher de cè membre la fomme 4167 des produits, & marquer le refte 728 au deßous, & la partie de l'operation qui fait découvrir les deux premiers caracteres de la racine qu'on cherche et achevée. 3. Il faut tranfporter le premier chifre à gauche p de la troifiéme tranche C devant le refte qu'on a trouvé par l'operation précedente, & ce refte joint au caractere p fera confideré comme un dividende. Il faut fupofer les deux premiers caracteres de la racine déja découverts repréfentez par a de la formule, & le troifiéme caractere qu'on cherche repréfenté par b de la formule, & former le produit des deux premiers représenté par le produit de la formule, dans lequel 6 eft lineaire, fans pourtant que 6, qui eft inconnu, foit dans ce produit, c'est à dire, il faut former le produit des deux premiers caracteres, regardez comme une feule grandeur, repréfenté par 2a dans le quarré, par 3a' dans la 3° puiflance, & ainfi des autres, divifer le dividende par ce produit, & écrire le quotient de cette divifion à la racine pour fon troifiéme caractere. Il faut former à part les produits des deux premiers cara&teres (marquez par a) & du troifiéme ( marqué par b) qui font repréfentez par les produits de la formule. Ajouter ces produits dans une fomme, observant qu'ils foient placez dans les rangs qui leur conviennent. Après avoir ajouté devant le dividende les caracteres f,&c. qui restent dans la troifiéme tranche C, ce qui fera le troifiéme membre de l'extraction, il faut öter de ce membre la fomme des produits, & écrire le reste au deffous. Dans notre exemple il faut abaiffer le premier chifre à gauche 2 de la troisième tranche C devant le reste 728 de l'operation précedente, & 7282 fera regardé comme un dividende. Il faut fup. pofer que les deux premiers chifres 23 de la racine déja découverts font reprefentez par a de la formule, & que le troisième cara* 187. Etere qu'on cherche eft représenté par b.* Et comme le dividende 7282 contient le produit représenté par za3b, il faut former le produit représenté par 3a2, que l'on trouvera être 1587=3a2, le prendre pour divifeur; divifer 7282 par 1587. Le quotient 4 que L'on trouvera, eft le troisième caractere de la racine que l'oncherche, qui eft représenté par b de la formule. Il faut l'écrire à la' racine au devant de 23. 2 Il faut enfuite former à part les produits représentez par zab +zabb, & l'on trouvera 634800 + 11040 +64= ·3a2b ➡ 3ab + b3. Il faut les écrire les uns fous les autres dans les rangs qui leur conviennent. On les ajoutera ensemble ; & après avoir tranfporté les chifres.13 qui reftoient dans la tranche C, au devant du dividende, pour rendre complet le troisième membre de l'extraction, on ôtera de ce membre 728213 la fomme des produits 645994, on écrira le refte 82309 au deffous: & la partie de l'operation qui fait découvrir les trois premiers caraEteres de la racine eft achevée. b 4°. Quand la puiffance numerique, dont on cherche la racine, a beaucoup de tranches, on trouvera de fuite le quatriéme caractere de la racine, le cinquième, le fixiéme, & les autres fuivans jufqu'au dernier, de la même maniere qu'on a trouvé le troifiéme; en fuppofant, pour découvrir de fuite chacun de ces caracteres, que dans les produits de la formule, a représente tous les caracteres déja découverts, & que 6 repréfente le caractere qu'on cherche, qui eft celui qui les fuit; & employant les produits de la formule pour le découvrir, comme on l'a expliqué dans le troifiéme article qui précede; & quand on aura operé fur la derniere tranche à droite, l'operation fera achevée ; & fi l'on ne trouve aucun reste : c'est à dire, fi après la derniere operation il reste zero, la puiffance numerique est parfaite, & la racine qu'on a découverte en est la racine exacte; fi l'on trouve un refte, la racine découverte eft la racine de la plus grande puiflance parfaite du même degré, qui eft contenue dans la puiffance numerique imparfaite propofée; c'est à dire, le nombre propofé étant diminué de ce reste, est la puissance numerique parfaite de la racine qu'on a trouvée. 1642683a2 divif, du 4. m. 5=6 17550.0=3ab2 82309625=3a2b+3ab2 + b2 Dans notre exemple il faut abaisser le premier chifre à gauche 6 de la quatrième tranche D devant le refte 82309 de Poperation précedente, & l'on aura le dividende 823096. On fuppofera enfuite que les trois chifres de la racine déja découverts font reprefentez par a de la formule; ainfi 234 = a, & que le qua. triéme qu'on cherche eft repréfenté par b. On formera le divifeur 164268=3a2, on divifera le dividende 823096 par ce divifeur; &lon écrira le quotient 5, qu'on fuppofera représenté par b de la formule, à la racine pour le quatrième caractere au devant des trois caracteres 234 déja découverts. 1 = 3a'b,+17550.0 On formera à part les produits 821340.00 3ab2, +125=b3, qu'on écrira les uns fous les autres dans les rangs qui leur conviennent. On les ajoutera dans une fomme, après avoir transporté les chifres 25 qui reftoient dans la tranche D au devant du dividende 823096, pour rendre complet le quatrième membre 82309625, on retranchera de ce membre la fomme des produits qui eft 82309625; on écrira le reste au deffous. Mais ayant opere fur la derniere tranche, l'operation eft achevée, & la racine cubique que l'on cherchoit eft 2345; & comme le dernier refte eft zero, cette racine eft exacte, & le nombre propofe eft une ze puissance parfaite, dont la racine eft 2345. REMARQUES. I. 192. QUAND la premiere tranche à gauche ne contient que l'unité, ou quand le nombre qu'elle contient eft moindre que la puiffance parfaite de 2 du même degré qu'eft la puif. fance numerique dont on cherche la racine; alors le premier caractere à gauche de la racine eft 1; il faut l'écrire à la racine, ôter i de la tranche A, & écrire le reste au deffous, & la premiere operation fera finie. La raifon eft que toutes les puiffances de 1 font chacune 1, & la racine quelconque de i eft 1. 193. 2. On ne peut mettre pour le caractere de la racine qui convient à chaque membre de l'extraction un nombre plus grand que 9. Ainfi fi l'on en trouvoit un plus grand, il ne faudroit écrire que 9 àla racine pour le caractere de ce membre là |