En faisant l'extraction de la racine quarrée du quarré imparfait 3433923, dans le troifiéme exemple, on a trouvé la racine 1853, & le refte 314. Pour découvrir une racine qui approche tant près qu'on voudra de la veritable racine qu'on ne fçauroit exprimer par nombres, il faut mettre un point au devant de la racine déja trouvée en entiers 1853; ce point fervira à diftinguer les entiers déja découverts d'avec les parties décimales qu'on va y ajouter. Il faut ajouter deux zeros au refte 314, ce qui donnera le nouveau membre 31400. On diftinguera le dividende de ce membre 3140 par un point fous le zero plus à gauche. On formera le divifeur de ce membre, comme on a formé le divifeur des autres en mul tipliant par 2 les caracteres déja découverts, & l'on trouvera 3706 pour le divifeur; & voyant que ce divifeur n'est pas contenu dans le dividende 3140, on écrira o à la racine pour le caractere de ce membre. On ajoutera deux zeros à ce membre, ce qui donnera le nouveau membre 3140000. On diftinguera le dividende 314000 par un point fous le zero le plus à gauche des deux qu'on a ajoutez. On formera le divifeur 37060. Faifant la divifion on trouvera le quotient 8 qu'on écrira à la racine; & faifant l'operation fur ce membre, on trouvera le refte 175136. On ajoutera deux zeros à ce refte, ce qui fera le membre fuivant 17513600. On diftinguera le dividende par un point fous le zero plus à gauche des deux qu'on a ajoutez. On formera le diviseur de ce membre 370616. On trouvera le quotient 4 qu'on écrira à la à la racine; & faifant l'operation, on aura le refte 2688944. On lui ajoutera deux zeros, ce qui fera le membre fuivant 268894400. On diftinguera le dividende par un point fous le zero plus à gauche des deux qu'on a ajoutez. On formera le divifeur 3706168. On trouvera le quotient 7 qu'on écrira à la racine; & faisant l'operation fur ce membre, on trouvera le reste 9462591. On peut continuer l'approximation tant qu'on voudra, en ajoutant toujours deux zeros au dernier refte qu'on aura trouvé, pour en faire le membre fuivant. Les operations qu'on vient de faire fuffifent pour en faire concevoir la methode: & il eft évident qu'on peut l'appliquer aifément à l'approximation des racines des nombres qui contiennent des parties décimales, à l'approximation des racines cubiques, en ajoutant trois zeros au dernier refte, & de même à chacun des reftes fuivans; à l'approximation des racines 4", en ajoutant quatre zeros au dernier refte, & de même à chacun des reftes fuivans: enfin à l'approximation des racines dont l'expofant fera tel nombre entier qu'on voudra, en ajoutant au dernier refte, & à chacun des reftes fuivans, autant de zeros que l'expofant de la racine contient d'unitez. Démonftration. It eft évident qu'ajouter des tranches de zeros au dernier refte de l'extraction, & aux reftes fuivans, eft la même chofe que de les ajouter d'abord à la puiflance numerique, dont on a extrait la racine. Par exemple, ajou ter deux zeros au refte 314, enfuite deux au refte fuivant, encore deux au troifiéme refte, & enfin deux au quatriéme refte, eft la même chose que d'ajouter d'abord huit zeros au quarré imparfait 3433923, en mettant entre ce nombre & ces zeros ajoutez le point qui diftingue les entiers des ties décimales. De plus ce nombre avec les zeros ajoutez 3433923.00000000 n'a point changé de valeur, & il n'y a *17. de difference entre 3433923 & 3433923.00000000 qu'en ce que la premiere expreffion marque les unitez de ce nombre entieres & fans être divifées en parties décimales, & la feconde marque les unitez qui compofent le même nombre partagées en parties décimales. * par Or on trouve par la methode d'approximation la racinę 1853.0847 qui contient & la racine 1853 de la plus grande puiffance en entiers 3433609 contenue dans la puiffance im. Cc parfaite propofée, & de plus le nombre décimal 0.0847; & la fomme de ces entiers & de ces parties décimales 1853.0847 eft la racine de la puiffance parfaite 3433922.90537409, quieft un nombre décimal moindre que 3433923.00000000, & plus grand que 3433609.00000000. La methode d'approximation des racines fait donc trouver une racine d'une puiffance numerique imparfaite, qui approche plus de la veritable racine que la racine qu'on avoit trouvée avant l'approximation. Il est évident que plus on continuera l'approximation, & plus la racine qui viendra de cette approximation fera approchante de la veritable racine qu'on ne sçauroit exprimer par nombres. Dans la pratique, quand on eft arrivé au rang des parties décimales de la racine approchée où l'on veut terminer l'approximation, (on a terminé l'approximation précedente aux dix milliémes qui occupent le quatrième rang des parties décimales) on examine fi dans l'operation fuivante on trouveroit un nombre décimal pour le caractere fuivant de la racine approchée, qui fût plus grand ou moindre que 5 ; fi l'on voit qu'il doive être plus grand que 5, on augmente d'une unité le caractere décimal, par lequel on a terminé l'operation; & fi l'on voit qu'il doive être moindre que 5, c'est à dire moindre que la moitié d'une unité du rang où l'on a voulu terminer la racine, on laisse le dernier caractere décimal tel qu'on l'a trouvé par l'operation. Il est visible que cela fe fait afin que la racine approchée differe moins de la veritable racine, & que le refte qu'on néglige foit moins confi. derable, De l'extraction des racines des puiffances litterales. L'extraction des puissances litterales incomplexes. 200. Pour extraire la racine quelconque, dont l'expofant eft un nombre entier, d'une grandeur litterale incomplexe qui n'a qu'une feule lettre, comme la racine 3o de a, il faut divifer l'expofant de la puiffance de la grandeur litterale par l'expofant de la racine; & écrire le quotient pour l'expofant de la racine qu'on cherchoit. Ainfi la racine 3o de ao est a2. La racine 2o de a' est a'; la racine 4o de aa eft a'; la racine 201. 202. 3o de a'' eft a*. C'est une fuite évidente de l'article 150, & de 2°. Quand l'expofant de la racine n'est pas un diviseur 6 Quand les expofans des grandeurs litterales font indéterminez, c'est à dire quand ces expofans font des lettres, l'extraction de la racine fe fait de la même maniere. Ainfi la ຫາ A racine m de la puissance aTM" est a". La racine m de a" est aa I n n de a' est a". Il en eft de même des autres. C'est une fuite REMARQUE. 203. QUAND l'expofant de la racine eft un diviseur exact de l'expofant de la puiffance, l'expofant de la racine étant un nombre entier, en y comprenant l'unité, il eft clair que les racines font des puiffances parfaites auffi-bien que les puif 2 fances dont elles font les racines. Ainfi a', racine 3o de a'eft 2 . Ces puiffances imparfaites 153. 204. 205. font des grandeurs incommenfurables, dont on traitera à fond dans le fecond Livre vers la fin. Ainfi quand on mer le figne ✔ devant une puiffance parfaite pour en exprimer la racine, cela ne fe fait que pour marquer en abrégé qu'il faut faire l'extraction de la racine de cette puiffance. Ainfi Va“ = a2 exprime qu'en faisant l'extraction de la racine 3o de a on trouve a. Mais le figne radical devant une puiffance, dont on ne fçauroit exprimer la racine qu'en lui donnant pour expofant une fraction, est l'expreffion propre de cette racine. Comme va eft l'expreffion propre de la racine 2o de a'. Ou bien encore at est l'expres fion propre de la racine 2o de a'; mais alors on la regarde comme une puiffance. Ces expreffions des puiffances imparfaites, ou des racines qui ne font pas elles mêmes des puiffances parfaites, font des fignes arbitraires qu'on a déter, minez à repréfenter ces racines ou puiffances imparfaites. 3 3o. Pour extraire la racine d'une grandeur incomplexe qui contient plufieurs lettres differentes, il faut divifer l'expofant de chaque lettre par celui de la racine, & écrire le quotient qui convient à chaque lettre differente au haut de cette lettre, pour lui fervir d'expofant, & ce fera la racine. Par exemple, la racine 2° de abc eft abc'. La racine 3o de a`b`cˆ est ab3⁄4c'. La racine 2o de ax' eft ax. La racine m de ก n a abTM3 eft aTMbo. La racine n de a"-" "x" eft a m-n p x". La racine & de a'x eft ax". La racine 2o de ab eft ab; la racine n de a"b" eft ab, &c. 4. Lorfqu'il faut extraire la racine d'une puiffance litterale précedée d'un nombre, par lequel elle eft multipliée, il faut trouver féparément la racine du nombre, & celle de la grandeur litteralé, & écrire pour la racine qu'on cherche la racine du nombre, & au devant la racine litterale. Ainfi la racine 2o de ga' eft 3a. La racine cubique de 8a' eft 2a. La racine 3o de 27a3o est za". La racine 3o de 12a" eft a3× V12. On remarquera que dans le cas où la racine eft compofée d'une grandeur commenfurable, & d'une incommenfurable marquée par le figne, qui font multipliées l'une par l'autre, 3 |