qui foit fi petite qu'elle ne differe, pour ainsi dire, presque
pas
du neant, & qui foit telle que cette grandeur comparée
à cette partie foit infiniment grande par rapport à elle, &
que cette partie comparée à cette grandeur foit infiniment
petite, c'eft cette partie infiniment petite qu'on nomme zero,
& qu'on regarde comme zero dans ce premier Corollaire.

COROLLAIRE II.

41. Si une même grandeur, qu'on nommera A, étant comparée à deux autres qu'on nommera B & C, a un plus grand rapport à la premiere B qu'à la feconde C, il eft évident que B eft plus petite que C. Si B & C étant comparées à A, le rapport de B à A eft plus petit que celui de Cà A, il eft clair que B eft moindre que C. Enfin fi B eft moindre que C, le rapport de B à A eft moindre que le rapport de Cà,

I

COROLLAIRE III.

42. S14 exprime un rapport d'inégalité, on peut le rendre plus petit qu'il n'eft de deux façons, 1°. en diminuant l'antecedent A d'une grandeur C, fans diminuer le consequent B. 2o. en augmentant le confequent B d'une grandeur C, fans augmenter l'antecedent. Ainfi & font de moin dres rapports que . D'où l'on voit qu'il faut faire le contraire pour rendre le rapport plus grand qu'il n'est.

N

REMARQUE.

A
B+C

On doit remarquer qu'un rapport pouvant être augmenté & diminué, & pouvant être égal ou inégal à un autre rapport, eft une grandeur; & que par confequent les rapports égaux peuvent être regardez comme des grandeurs égales, & les rapports inégaux comme des grandeurs inégales. Par exemple les rapports de 1 à 2, de 2 à 4, font des grandeurs égales, les rapports de 1 à 2, de 1 à 3, font des grandeurs inégales.

I

Pour concevoir cela clairement, il faut remarquer qu'un rapport peut être regardé de deux façons, comme un rapport & comme une grandeur, ce qu'on entendra mieux par des exemples; une ligne d'un pied comparée à une ligne de deux pieds, en eft la moitié, une ligne d'un pied comparée à une

ligne de trois pieds, en eft le tiers. Quand on ne confidere
que cette comparaifon de l'antecedent au confequent, on
ne regarde que le rapport de l'un à l'autre. Le rapport lui-
même peut auffi être regardé comme une grandeur, voici
comment. Quand on compare le rapport lui-même à l'unité,
par exemple quand on compare le rapport une moitié, ou
un tiers avec l'unité; une moitié contient une des parties
dont l'unité en contient deux; un tiers contient une des par-
ties dont l'unité en contient trois. Il est évident qu'en regar-
dant ainfi un rapport, c'eft une grandeur, & que & font
deux grandeurs égales; que & font deux grandeurs iné-
gales.
AXIOM E.

43. Si un rapportest plus grand qu'un autre rapport £, il est plus grand que tout autre rapport égal à, ou moindre que

16 DEFINITION.

44. QUAND on compare

rap

rap

UAND on compare les rapports des grandeurs entr'eux, la comparaison de deux rapports égaux, ou l'égalité de deux rapports s'appelle une proportion arithmetique, quand les ports égaux font arithmetiques; elle fe nomme une propor tion geometrique, ou fimplement une proportion, quand les ports égaux font geometriques. Ainfi la difference de 4 à 6 qui eft deux, étant égale à la difference de 8 à 10, les quatre nombre 4, 6, 8, 10 font une proportion arithmetique. Le rapport geometrique de 8 à 4 étant égal au rapport geometrique de 2 à 1, les quatre nombres 8, 4, 2, 1 font une proportion geometrique, ou fimplement une proportion.

On marquera une proportion arithmetique de cette maniere 4.68.10, ce qui fignifiera que la difference de 4 & de 6 est égale à la difference de 8 & de 10.

= ::

pro

On marquera une proportion geometrique de l'une ou l'autre de ces manieres, 4; 8.4 2.1. On l'énonce de toutes ces façons : les quatre grandeurs 8, 4, 2, 1 font portionnelles, ou font en proportion, ou font une proportion: le rapport de 8 à de 8 à 4 eft égal au eft égal au rapport de 2 à 1; ou la raifon de 8 à 4 eft égale à la raifon de 2 à 1; le premier terme 8 eft au fecond 4, comme le troifiéme 2 eft au quatriéme 1; 8 & 4 font entr'eux comme 2 & 1.

Le premier & le dernier terme d'une proportion s'appellent les extremes; le fecond & le troifiéme, les moyens. Le premier & le troifiéme fe nomment auffi les antecedents ; le fecond & le quatrième les confequents.

17 DEFINITION.

45. UNE partie d'une grandeur qui eft contenue dans cette grandeur plufieurs fois exactement, s'appelle une partie aliquote de cette grandeur; & cette grandeur s'appelle multiple de fon aliquote, & l'on nomme auffi l'aliquote fous-multiple de cette grandeur. Ainfi l'unité eft une aliquote de tous les nombres entiers. Un pied eft une aliquote de trois pieds, de quatre pieds, &c. trois pieds eft multiple d'un pied, & un pied eft fous-multiple de trois pieds. De même une ligne de cinq pieds est une aliquote d'une ligne de quinze pieds.

Une grandeur étant conçue partagée dans un nombre quelconque de parties égales, fi une autre grandeur eft conçue partagée dans le même nombre de parties égales entr'elles, quoiqu'elles foient inégales aux parties égales de la premiere, on nomme ces parties égales de la premiere & de la feconde, parties pareilles ou femblables, ou aliquotes pareilles ou femblables de ces deux grandeurs, & ces grandeurs font nommées équimultiples de ces parties. Ainfi un pied & une toife font les parties pareilles ou aliquotes pareilles, la premiere de trois pieds, la feconde de trois toifes. Une ligne de trois pieds & une ligne de trois toifes font équimultiples, la premiere d'un pied, la feconde d'une toife. De même trois pieds & trois toifes sont les parties semblables de 15 pieds & de 15 toifes.

Axiomes fur les aliquotes.

46. TOUTE grandeur peut être conçue partagée en tel nombre de parties égales qu'on voudra.

L'aliquote d'une grandeur eft auffi l'aliquote de toutes les grandeurs multiples de cette grandeur. Ainfi un pied qui est aliquote de 3 pieds, eft auffi aliquote de deux fois 3 pieds, de trois fois 3 pieds, &c.

18° DEFINITION, où l'on donne une notion diftinéte de ce qui fait une proportion geometrique, il faut fe la rendre très familiere. 47. QUATRE grandeurs, qu'on peut reprefenter par quatre lignes droites, dont la premiere sera nommée a, la feconde b, la troifiéme c, & la quatriéme d, font en proportion: lorsque les antecedents, c'est à dire la premiere a & la troifiéme c, étant conçues partagées dans le même nombre d'aliquotes femblables, ou de parties égales femblables, chaque confequent contient le même nombre de parties égales de fon antecedent; c'est à dire la feconde 6 contient autant d'aliquotes de la premiere a, que la quatrième d contient d'aliquotes femblables de la troifiéme c.

Ainfi une ligne a de 5 toifes eft à une ligne 6 de 3 toifes, comme une ligne e de 5 pieds eft à une ligne d de 3 pieds. De même une ligne a de 5 toifes eft à une ligne 6 de 3 toifes, comme une ligne c de 20 toifes ou de 5 fois 4 toises eft à une ligne d de 12 toifes ou de 3 fois 4 toises.

COROLLAIRE.

48. IL eft évident que ce feroit la même notion, fi l'on difoit que quatre grandeurs représentées par a, b, c, d font en proportion, lorfque les conféquents, c'eft à dire, la feconde 6 & la quatrième détant conçues partagées dans le même nombre d'aliquotes femblables, chaque antecedent contient le même nombre de parties égales de fon confequent: c'est à dire, que la premiere a contient autant d'aliquotes de fon confequent b, que la troifiéme c contient d'aliquotes femblables de fon confequent d.

49.

On exprimera ici une proportion de ces deux manieres generales, 1°,, les quatre lettres a, b, c, d pouvant représenter quatre grandeurs quelconques à qui convient la notion generale de proportion qu'on vient de donner. 2°. Par le moyen des aliquotes. Pour cela on supposera que x représente la partie égale ou l'aliquote qui eft exactement contenue plufieurs fois dans chacun des termes a & b du premier raport; que n repréfente le nombre de fois que l'aliquote x eft dans l'antecedenta, & m le nombre de fois que la même aliquote x eft dans le confequent 6. Ainfi fuppofé que a contienne x, 5 fois, 10 fois, 100, &c. au lieu d'écrire 5x, 10x, 100%, &c.

50.

ce qui feroit une expreffion particuliere, on écrira nx, & de
cette façon nx repréfente d'une maniere generale tous les
nombres poffibles d'aliquotes, dans lefquelles on peut conce-
voir que a eft divifée, & l'on a anx ; & de même mx re-
présente le nombre de fois que le confequent b contient la
même aliquotex, quelque nombre entier que puiffe être m:
par conféquent b=mx. On fuppofera de même que y re-
préfente l'aliquote femblable de l'antecedent c; & commey
doit être dans e le même nombre de fois marqué par n que x
eft dansa, & dans d le même nombre de fois marqué par m
que x eft dans b, l'on aura c=ny, &d=my. Ainfi l'ex-
preffion generale d'une proportion par le moyen des aliquo-
tes, fera
feray.

C

Stoifes

3 pieds 3 10 fes & n yaut

ny

Ainfi chaque proportion particuliere, comme Pieds
fera représentée, 1o, par. 2°, par x
ici 5; m, 3; x, un pied; y, une toife.

cette maniere :

m x

my r

Quand on aura trois raports égaux, on les exprimera de 3. On peut, pour fixer l'imagination, appliquer cette expreffion à trois raports particu

nx mx

my

liers égaux, comme à Pieds

3 pieds

On peut remarquer que quand n =m, les raports égaux

= "x deviennent

my

m

=qui font des raports d'égalité, dont chacun est égal à, puifque chaque confequent eft contenu une fois dans fon antecedent. Application de la notion de proportion, expliquée dans la definition précedente, aux grandeurs incommenfurables.

DEU EUX rapports incommenfurables * qu'on représentera 36. par font égaux ou font une proportion, lorsqu'en concevant l'antecedent a, partagé en quelque nombre entier que ce puiffe être de parties égales entr'elles, & qu'en concevant l'antecedent c auffi partagé dans le même nombre d'autres parties égales entr'elles, il arrive toujours que le consequent b contient autant de parties égales de fon antecedent a, avec un petit refte qu'on nommera R, que le confequent d contient de parties femblables de fon antecedent, avec un petit refte qu'on appellera R.

Explication. a, b, c, d repréfentent quatre lignes droites, *36. on fuppofe que le raport des deux premieres eft incommenfurable,