menfurable, comme auffi le rapport & des deux dernieres, & que ces deux rapports font égaux. Voici la maniere dont on conçoit égaux ces deux rapports incommenfurables. 1o. On conçoit la premiere grandeur a partagée en tel nombre d'aliquotes qu'on voudra: par exemple, en cent aliquotes, dont chacune fe nommera, & que la feconde grandeur b contient tel nombre qu'on voudra de ces aliquotes, par exemple 50, & de plus un petit refte R moindre qu'une de ces aliquotes. On conçoit en même temps la troifiéme grandeur partagée en autant d'aliquotes, dont chacune fe nommera Y, qu'il y en a dans a, c'est à dire en 100 Y; & que la quatrième grandeur d contient autant de ces aliquotes y, que é contient d'aliquotes, & qu'il y a de plus un petit refte R moindre que r: ainfi = 50x +R, & 1 100 X 100r Sor+R 2o. On peut concevoir chaque partagée en tel nombre qu'on voudra d'aliquotes, dont chacune fera nomméex, plus petites chacune que R, par exemple en 1000x, & en même temps chaque partagée dans le même nombre d'aliquotes, dont chacune s'appellera y, c'eft à dire en 1000y. Le confequent doit par la fuppofition contenir, 1°, cinquante fois mille x. 2°, mais comme x eft fuppofée moindre que R, x doit être en R un certain nombre de fois, qu'on fuppofera être dix fois, avec un nouveau petit refte qu'on nommera r. Ainfi b = 50000x + 10x+r. Le fecond confequent d doit auffi contenir cinquante fois mille y plus dix y plus un nouveau reste qu'on nommera r, & l'on aura après ce partage 1000001, &=10010)+7 100000) 3°. On peut concevoir que le partage des aliquotes x & y eft continué en un même nombre, tel qu'on voudra, d'alíquotes pareilles plus petites, & le partage de celles-ci en un même nombre, tel qu'on voudra, d'autres aliquores pareilles plus petites, & ainfi à l'infini, & dans chaque partage le reste r du partage précedent des x, & le refter du partage précedent des y doivent donner chacun un même nombre d'aliquotes pareilles avec un nouveau petit refte, & toujours de même à l'infini. n Nommant # tel nombre entier qu'on voudra, tant grand qu'il puiffe être, & prenant ce nombre pour exprimer le nombre des aliquotes de a, dont chacune fera nommée „X, on aura a=nX. D *39. * 39. Nommant auffix l'aliquote femblable de c, on aura c =ny. Nommant m le nombre entier qui exprime combien de fois ces aliquotes pareilles & font contenues dans les confequens b & d, R le petit refte de b, & R le petit refte de d, on aura b = mx + R,&d=mx+R, & l'expreffion des deux rapports incommenfurables égaux par le moyen des aliquotes, fera R = MY+R nx MY+RR Cette expreffion peut fervir pour tous les partages qu'on peut concevoir à l'infini des aliquotes &r en d'autres nouvelles plus petites, & de celles-ci en d'autres nouvelles à l'infini, en supposant que exprime l'aliquote de chaque partage pour le premier rapport, &r l'aliquote femblable du même partage pour le fecond rapport; que n représente le nombre des aliquotes pareilles des antecedens, m le nombre des aliquotes pareilles des confequens, & R le petit reste du confequent du premier rapport, & R le petit refte du consequent du fecond rapport. Il ne peut arriver dans aucun de ces partages à l'infini, que le refte R du premier confequent donne un nombre d'aliquotes, different du nombre des aliquotes pareilles r que donnera le refte R du fecond confequent; car fi l'un de ces deux reftes, par exemple R, donnoit dans le partage fuivant une feule aliquote de plus que l'autre, l'on auroit dans ce partage pour l'expreffion de la proportion mλ+R T+T+R. Or il est évident * que le premier de ces rapports eft plus grand que le fecond; car en mettant dans le confequent mx+R, X plus grande par la fuppofition que le petit refte R; à la place de R, on auroit*>x 47 & mT+Y+R' nx mx+x * + η Χ mX+R my + γ mr+r nx mrr, donc furpasse * Or fur&49. paffe * +I+R; donc furpaffe. Ainfi dans chaque partage à l'infini, chacun des reftes R & R doit fournir pour le partage fuivant un même nombre d'aliquotes pareilles, afin que les deux rapports incommensurables ; & q Loient égaux. Mais après des partages infinis on conçoit que les reftes R & R font enfin épuifez, en fournissant toujours un même nombre d'aliquotes pareilles dans chaque partage. SI. D'où l'on voir peut la notion de deux rapports égaux que ou d'une proportion, peut être commune aux rapports commenfurables & incommenfurables; fçavoir,que deux rapports font égaux, quand les antecedens étant conçus partagez dans le même nombre entier d'aliquotes femblables & r, quel que puiffe être ce nombre, chacun des confequens contient le même nombre des aliquotes pareilles de fon antecedent; mais dans les rapports commenfurables, le même nombre des aliquotes femblables & des antecedens eft fini, & le même nombre des mêmes aliquotes femblables & desconfequens eft auffi fini : au lieu que ce qui fait deux rapports incom. menfurables égaux, eft qu'en concevant les deux antecedens partagez dans le même nombre infini d'aliquotes pareilles &r, chacun des confequens contient l'aliquote pareille de fon antecedent le même nombre infini de fois. Ainfi l'expreffion peut être commune à deux rapports égaux commenfurables, & à deux rapports incommenfurables, en fuppofant que les nombres repréfentez par n &m font finis pour les deux premiers, & infinis pour les feconds. nX nr Ainfi ce que l'on démontrera dans la fuite, par le moyen de cette expreffion de deux rapports égaux, conviendra à deux rapports égaux commenfurables, & à deux rapports égaux incommenfurables. REMARQU E. CE feroit la même notion de deux rapports incommenfurables égaux, que de dire, qu'en quelque même nombre d'aliquotes que ce puiffe être qu'on conçoive partagez les confequens de ces deux rapports, leurs antecedens doivent contenir chacun le même nombre d'aliquotes femblables de fon antecedent avec un petit reste. 52. LES 53. Corollaires qu'il faut fe rendre très familiers. I. Es rapports égaux à un même rapport, ou à des rapports égaux, font égaux entr'eux. Ce Corollaire eft un axiomeaprès ce qui précede. 2. Une même grandeur A ne fçauroit avoir le même rapport à d'autres grandeurs B & C, que ces autres là ne foient éga $4. les; & plufieurs grandeurs B & C ne fçauroient avoir le même rapport avec une même grandeur A, qu'elles ne foient auffi égales; & des grandeurs égales étant comparées à des grandeurs égales, elles ont des raports égaux ; fi a=c,& b d, les raports, font égaux. Ce Corollaire eft très évident. 3. Lorsque les trois premiers termes a, b, c d'une proportion font donnez, la grandeur du quatriéme deft déterminée, c'est à dire, il ne peut y avoir pour le quatrième terme plufieurs grandeurs differentes, dont les unes foient plus grandes, les autres plus petites; mais il n'y a qu'une même grandeur qui puiffe être le quatriéme terme d; & toutes les grandeurs qui peuvent être le quatrième terme, font égales & peuvent être prifes pour la même. Car le premier rapport étant déterminé, le raport de c au quatriéme terme d est égal au rapport de a à b. Or une même grandeur e ne peut pas avoir 53. un même raport * à des grandeurs inégales, mais feulement à des grandeurs égales qui peuvent être prifes chacune pour la même grandeur. Il est évident par la même preuve, que pourvû que trois termes d'une proportion foient déterminez ou donnez, il n'importe pas que ce foient les trois premiers, le quatrième, qui eft celui qui refte, est toujours déterminé. Ainfi la proportion étant a. b:: c. d. 1°. Si b, c, d font trois grandeurs déterminées, a eft auffi déterminée. 2°. Si a, c, d font déterminées, b l'eft auffi. 3°. Si a, b, d, font déterminées, c l'eft auffi. 4°. Si a, b, c font déterminées, d l'est aussi : car dans tous ces cas il y a un des deux rapports de la proportion qui eft déterminé, le fecond rapport doit être égal à ce premier: ainfi un des termes de ce fecond rapport étant déterminé, l'autre terme eft néceffairement déterminé. 4. 55. Quand deux ou plufieurs rapports, foit commenfurables, foit incommenfurables, font égaux, comme ==}; leurs rapports inverses inverses,,, sont auffi égaux. Il n'y a qu'à exprimer ces rapports égaux par le moyen des aliquotes, pour voir que la notion des rapports égaux convient à leurs rapports inverses : car ces rapports égaux se 56. nx ront *===, & leurs rapports inverfes feront mr mX ወረ nZ mz z, aufquels convient la notion des rapports égaux.* * 47. Si l'on vouloit une démonftration particuliere pour les rapports incommenfurables, la voici. deur d c Soient les deux rapports incommenfurables égaux reprefentés par, , il faut démontrer que leurs rapports rapports inverfes, & font auffi égaux, & qu'on ne sçauroit les fuppofer inégaux, qu'on ne tombe dans une contradiction. Car fuppofant que l'un des deux, lequel on voudra comme le premier, eft moindre que l'autre ; qu'on ajoute à 6 la gran... 6+ <, qui foit telle ༢., que ¿±3 634; que l'on conçoive le confequent a partagé en tel nombre n de parties égales qu'on voudra, dont chacune, qui fera nommée X, ne furpafle pas que m marque le nombre de fois que l'aliquote eft dansbavec un refte; & comme on fuppofe qu'elle ne furpasse pas z, elle fera au moins une fois dans exactement, ou avec un refte; & pour abreger, on nommera R la fomme de ces deux reftes, s'il y en a deux ; ainsi ¿± mX+X+R. Que l'on con çoive c partagée dans le même nombre n de parties égales, dont chacune fera nommée r, ainfi c= nr. Il est évident * * que y fera contenue dans d le nombre de fois qui eft marqué par m, avec un refte R. Ainfi & =m+R; mais nr = nX mX+X+R >× mX+R; &mX+R = *"I+R. Donc *X*X+R ( qui est égal nr n X 50. *39. * 48 par la supposition à 3) est plus grand que ", ou fon &'50. COROLLAIRE V. LORSQUE plufieurs rapports, foit commenfurables, foit la incommenfurables, font égaux, commeƒ› |