* 47. "X+nr+nz l'on aura dent que l'aliquote X+Y+Z est dans nX+ n¥ + nz La démonstration eft generale par l'article 51, tant pour les rapports commenfurables, que pour les incommenfurables: en voici cependant une particuliere pour les rapports incommensurables. On peut exprimer les rapports incom * 50. menfurables égaux de cette maniere * † "Z mz+r n X mX+R> nX = mx+R d nT my+R Il faut donc démontrer que mx+mi+mZ+R+R+r ce qui eft facile; car X+Y+Z&X, font les aliquotes femblables des antecedens qui y font contenues le même nombre de fois qui eft marqué parn, tel qu'il puiffe être : or la premiere X+Y+Z eft contenue dans le premier confequent le nombre de fois qui eft marqué par m,& il y a de plus parm, le refte R+R+r; la feconde eft contenue dans le second confequent le même nombre de fois marqué par m, & il y a de *50. plus le reste R. Par consequent x++mZ+R+R+r $7. nXnI+nz COROLLAIRE VI. mx+R LORSQUE nx-nr Ainfi == "X". Mais X- y est une aliquote de nx mx-mr -nr, qui y eft contenue le nombre de fois qui eft representé par n, & qui est tel qu'on voudra ; & Xeft l'aliquote femblable de nx, qui y eft contenue le même nombre de fois marqué par n; & la premiere de ces aliquotes pareilles, fçavoir r eft contenue dans mX-my le nombre de fois qui eft exprimé par m, & l'aliquote pareille eft contenue dans ma le même nombre de fois. Donc * "x-n! Démonstration particuliere pour les rapports incommenfu nr MY+R rables. ;= ;. Donc mX-mr nx mx' * nx-nr Car X-Y, & aliquotes pareilles des antecedens font N REMARQUE S. I. 58. On énonce les deux derniers Corollaires précedens de cette autre façon. Un rapport demeure toujours le même fi l'on ajoute à l'antecedent a, du rapport, une grandeur c, & qu'on ajoute en même temps au confequent b une grandeur d; ou bien fi l'on ôte de a la grandeur c, & de bla grandeur d, & que les grandeurs ajoutées ou retranchées c & d foient entr'elles comme a eft à b: c'est à dire, fi == =%, & encore *=*=;. 59. MAIS 2. AIS un raport ne demeurera plus le même, fi l'on ajoute une grandeur c à un feul de fes deux termes; ou fi on l'en retranche, fans rien ajouter à l'autre, ou fans en rien retrancher : c'est à dire que <^ +' & & > + ; & de même >, &<.. Cela est évident *. 3. 4+ 60. Si l'on ajoute la grandeur e à l'antecedent a du rapport ou fi l'on en retranche la grandeur e, & qu'on ajoute en mê- ate b+f" 42. nombre n d'aliquotes femblables qui foient &r, l'on aura a=nX,&e=nr. Or fi m marque le nombre de fois que l'aliquote eft dans b, le même nombre m ne pourra pas marquer le nombre de fois que y eft dans f, puifqu'il fau*47. droit * qu'on eût fuppofé les deux rapports, égaux, afin que cela arrivât, & on les a fuppofé inégaux. Ainfi ce sera necessairement un autre nombre, qu'on nommera p, qui marquera combien de fois y eft dans ƒ, & l'on aura b=mY, & f=pr. Par consequent l'on aura=xb+s mx+pr . Or il est évident que X,XY, X-Ÿ font les aliquotes pareilles des antecedens nX ̧nX+n¥,nX−nY; & que l'aliquote n'eft pas dans le confequent mx le même nombre de fois que les aliquotes pareilles X+Y & X—Y font dans les confequens mX+ pr, mx- pr. Par consequent le rapport ou n'eft pas égal au rapport mx − pr• fon égal ate b+1) "X mX nx ni à "X-r ou à son égal. mx-prɔ COROLLAIRE VII. nX+nÏ mx+pr ou à 61. SUPPOSE que représente un rapport quelconque: deux gran. deurs, dont l'une contient exactement l'antecedent yun nombre de fois quelconque reprefenté parn, & dont l'autre contient le consequent y le même nombre de fois marqué par n, ont le même rapport que àr; comme auffi deux grandeurs dont l'une eft contenue autant de fois dans X, que l'autre est contenue dans ; c'est à dire ==== &c. comme auffix = &c. ce qu'on peut r nx X 4X ainfi marquer en general =, en fuppofant que n repréfente un nombre quelconque entier ou rompu. Démonstration. Il est évident que tous ces rapports font égaux==== = &c. donc la fomme des antecedens de tel nombre de ces rapports qu'on voudra, par exemple 5, eft à la fomme du même nombre de conféquens, * 56. 5* comme un feul antecedent eft à un feul confequent Ainfi 10X On démontrera la même chofe des grandeurs contenues le même nombre de fois, l'une dans X, & l'autre dans X Donc la fomme des antecedens qui eft quatre quarts de x, de X eft à un quart de y ; ainsi COROLLAIRE VIII. 62. QUAND deux rapports font égaux comme;=¿; le rapport des antecedens eft égal à celui des confequens, c'est à dire&=. m Démonftration t * =*,&&=***. Ainsi÷="*, &=*. Mais = * *, & === * X. Donc ** ml nx r m X c'est à dire, ce qu'il falloit démontrer. 18 DEFINITION. = 49& m X QUAND mr+R Démonftration particuliere de la proportion alterne de deux rapports égaux incommenfurables qu'on representera part=2. Il faut démontrer que. Par l'article i=mx+R & Ainfi il faut démontrer que m) +R° mX+R Il est déja évident par la démonstration précedente & par l'article 61, que, puifque l'un & l'autre est égal à -. Ainfi il faut démontrer que; car alors la fomme des antecedens mx + R des deux rapports égaux m&, fera à la fomme des confequens my + R, comme * mx est à mỵ, ou comme nx eft à nr. R R Le rapport ne peut être ni plus grand ni plus petit que: R E * 42. ainfi il lui est égal. 1°, s'il étoit plus grand, qu'on le diminue* en ajoutant au confequent R une grandeur qui foit telle que. Qu'on conçoive & partagées en un même nombre quelconque, qu'on nommera p, d'aliquotes pareilles x *46. &y, & que y ne furpaffe pas z, ce qui eft poffible *; ainfi . Il est évident par l'article 50 que x fera dans R tout autant de fois, avec un petit refte r, que y fera dans R avec un petit refte r; & nommant ce nombre q, on aura * 61. ** Px * = Py 3. Mais ayant fuppofé you y = %, y fera dans ༢. au moins une fois; & s'il y a un refte, on ne fera de ce reste & du petit refter, qu'un feul refte que l'on fuppofera representé par la même lettre r, & l'on aura Rzqy+ y + ?. On va démontrer que R X *,, qu'on fuppose égal à, ne peut pas lui être égal, qu'il est plus petit ; & qu'ainfi la fuppofition que eft plus grand que conduit necessairement à cette contradiction queeft égal à, & qu'il eft en même temps plus petit. R * 61. x & y étant les aliquotes pareilles de x&r, l'on aura* — q x Px Χ 23 = 13 = 3 = 2 + 3. Or qx+x furpaffe qx + r ; car on *39. suppose le reste r moindre que x: + x 93+3 ainfi le rapport + qx+x R 39. paffe le rapport ; & 2* étant plus grand que 3+3 43. furpaffe à plus forte raison le rapport. Donc puifque; il s'enfuit que + furpaffant; le rapportfurpaffe auffi, égal par la fuppofition à R+L On arrive donc à une contradiction en fuppofant que étoit égal à. Cela vient de ce qu'on a suppose plus grand que; ainfi ne peut pas être plus grand que . 2o. Si étoit plus petit que, qu'on ajoute à R la grandeur z, de façon que foit égal à ; qu'on conçoive, com༢, me dans le cas précedent, X & Y partagées en aliquotes pareilles x & y, dont le nombre foit p, & que chaque x ne furpaffe pas z, & l'on aura |