3o DEFINITION. bdf 373. CHACUN des rapports simples égaux ;=¿ dont un rapporteft doublé, s'appelle foudoublé de ce rapport Chacun des rapports égaux, dont un rapport felt triplé, s'appelle foutriplé de ce rapport, & ainfi des autres. On dit, par exemple, que le rapport de a à best foudoublé du rapport de ac à bd, & que le rapport de a à best soutriplé du rapport de ace à bdf. 4. 374. Deux produits homogenes qui font en rapport doublé, ou triplé, ou quadruplé, &c. s'appellent semblables; ainsi fupposant === ; ac & bd font des produits femblables, & encore ace, bdf, & de même aceg, bdfh. 375. Les deux termes de chacun des rapports fimples égaux qui font les rapports compofans font nommez relatifs ou homologues. Ainfi dans les produits femblables aceg, bdfb, a eft relatif à 6, càd, e àƒ, & gà h. 5. Si deux produits homogenes ABC, abc font égaux, & que les dimenfions A, B, C du premier, quoiqu'inégales entr'elles, foient pourtant égales, la premiere A de l'un à la premiere a de l'autre, la feconde B à la feconde b; & la troifiéme C à la troifiéme c. On dit que les dimenfions de P'un font égales aux dimenfions de l'autre chacune à chacune, ou que les multiplicateurs font égaux chacun à chacun. AXIOME $. I. 376. LORSQUE les rapports compofans de deux rapports compofez d'un même nombre de rapports fimples, font égaux chacun à chacun, les deux rapports compofez font égaux. Car deux produits font égaux quand les multiplicateurs de l'un font égaux aux multiplicateurs de l'autre chacun à cha cun. Quand les rapports ne font compofez chacun que de fimples rapports tous égaux entr'eux; fi deux ou plufieurs rap ports compofez chacun d'un même nombre de rapports compofans, font égaux, le rapport fimple par la répetition duquel l'un eft compofé eft égal au rapport fimple par la répetition duquel,faite le même nombre de fois, l'autre eft auffi compofé. I 2e AXIOME. 377. Si deux ou plufieurs rapports font égaux, & que l'un soit compofé d'un certain nombre de rapports compofans; on peut concevoir chacun des rapports égaux à ce rapport compofé, comme étant auffi compofé des mêmes rapports compofans, ou du même nombre de rapports compofans égaux aux rapports compofans du premier chacun à chacun. Par exemple %==. Le premier eft compofé des trois rapports fimples, on peut concevoir & cha13 cun comme étant compofé des mêmes rapports, ou de trois rapports qui leur foient égaux chacun à chacun. 378. QUAND 35 REMARQUE. 2 3 4 UAND on a dit qu'on pouvoit concevoir les rapports compofez égaux, comme compofez chacun des mêmes rapports compofans, ou de rapports compofans égaux, on n'a pas prétendu dire que chacun des rapports compofans, dont eft formé un rapport compofé, fuffent déterminez, & précifément les mêmes rapports. Car un même rapport compofé, comme, peut être conçu compofé des trois rapports, }, }. Il peut encore être conçu compofé des trois rapports, 4, 7, qui ne font pas égaux aux trois premiers. Mais quelque varieté qu'on puiffe concevoir dans les rapports composans d'un rapport compofé, il est toujours évident que deux rapports compofez égaux peuvent auffi être conçus compofez d'un même nombre de rapports, de forte que les rapports compofans de l'un foient les mêmes que les compofans de l'autre, ou qu'ils leur foient égaux. COROLLAIRES 379. DEUX produits homogenes ab & cd; abc & def; abcd & fgh, &c. ont entr'eux un rapport compofé des rapports qui font entre les dimenfions de l'un & les dimensions de l'autre, ou entre les multiplicateurs de l'un & les multipli287 & cateurs de l'autre. * . abc = 2 × 1 × 7. abcd === 371.xx, &c.. 380. b ab X 2. Lorfque deux produits homogenes ont quelques-unes de leurs dimenfions égales, ils font entr'eux comme leurs di= , &c. * 109. menfions inégales = b; ab 3. 381. Quand il y a entre deux grandeurs a & fplufieurs grandeurs interpofées, comme dans cette fuite a, b, c, d, e, f, Le rapport des deux grandeurs a & fentre lefquelles il y en a plufieurs autres d'interpofées b, c, d, e, eft compofé de tous les rapports qui font entre les interpofées. C'est à dire dans la fuite a, b, c, d, e, f. Le rapport eft compofé de tous les rapports, a r e f 371. 109. b C d e Démonftration. * bedef *bede eft un rapport compofé * det,,i, f . Or. Par confequent* eft auffi compofé *377. des mêmes rapports qui font entre les grandeurs interpofées. Ce qu'il falloit démontrer. N REMARQUE. 382.. On voit par le Corollaire précedent qu'on eft libre de faire qu'un rapport fimple puiffe être conçu comme compofé de tant, & pour ainfi dire, de tels rapports qu'on voudra; car fuppofé qu'on veuille que puiffe être conçu compofe de fix rapports, il n'y a qu'à interpofer cinq grandeurs entre a & g, & l'on aura, par exemple, la fuite a,b,c,d,e,f,g, & on pourra concevoir que eft un rapport compofé de ces fix š rapports,,,,, . On pourroit même faire en que tous ces rapports compofans fuffent donnez, & tels qu'on voudroit, fi ce n'eft le dernier qui fe trouveroit nécessairement déterminé. forte Quoique cette maniere de faire qu'un rapport fimple puiffe être regardé comme compofé de tant de rapports compofans qu'on voudra, foit arbitraire, elle ne laiffe pas d'être d'usage pour avoir la résolution de plufieurs Problê- PROBLEME I. 383. AYANT deux ou plusieurs rapports compofans, trouverle rapport qui en eft compofe. 1. Maniere. Il n'y a qu'à multiplier tous les rapports compofans les uns par les autres, & le produit * fera le rapport * 371. compofé qu'on demande. Ainfi le rapport compofé de î- × P × est are. bdf 2. Maniere. Pour avoir le rapport compofé des deux ;, d * =q, a & de . P 341. *381. S'il y a trois rapports compofans,,;. On trouvera d'abord, comme on vient de l'enseigner, le rapport compofé des deux & . On fera enfuite cette proportion * 341. e.f::p.. On supposera f & l'on aura le rapport compofé des rapports,,. Car dans la fuite c, d, p, q, le rapport & est ✶ composé de å, de &=;,& de ?;= ;. *381. S'il y a quatre rapports compofans †,†,†,, après avoir trouvé le rapport & compofé des trois premiers,,,, on fera cette proportion g.h:: q.; & fuppofant : = r, rapport fera compofé des quatret,,,. Car dans la fuite c, d, p, q, r, le rapport*est composé des rapports * 381. ;, & = t‚ } = ;,&}={• a REMARQUE S. I. le 384. CETTE feconde methode de trouver le rapport compofé de tant de rapports compofans donnez qu'on voudra qui fe pratique en interpofant, entre une grandeur donnée, & une autre qu'on trouve par des proportions réiterées, des grandeurs telles que les rapports des grandeurs interpofées foient égaux aux rapports propofez chacun à chacun; cette methode, dis-je, de trouver un rapport compofé de rap- 2. Cette methode a ces deux commoditez, 1°. En fuppo aces 386. 20. On peut diverfifier l'expreffion la plus fimple d'un rapport compofé de plufieurs rapports donnez, de differentes manieres toutes équivalentes, parmi lesquelles on a la liberté de choisir celles qui peuvent être les plus commodes pour la refolution des Problêmes.. Pour faire clairement concevoir aux Commençans la maniere de trouver ces differentes expreffions fimples équivalentes d'un rapport compofé de plufieurs rapports, on leur fera remarquer qu'on peut prendre celle qu'on voudra des grandeurs données dans les rapports compofans donnez, pour le premier terme du rapport compofé qu'on cherche. Par exemple, fi l'on veut qu'un des numerateurs duquel on voudra des rapports compofans,,,, foit pris pour le premier terme du rapport compofé qu'on cherche, & que ce foit, par exemple a, on fera ces proportions les unes après les autres. 15, c. d:: b. p. 2o, e. f :: p. q. 3o, 8. b:: q.r, & l'on aura pour le rapport compofé qu'on cherche. 381. Car dans la fuite a, b, p, q, r, le rapport* eft composé de 9. Si |