Si l'on veut que le premier terme du rapport compofé qu'on cherche foit l'un des dénominateurs des rapports compofans donnez. Par exemple b, on fera par ordre ces proportions. ire, d. c :: a. p. 2o, ƒ.e :: p . q. 3o, h. g:: q. r. Et le rapport compofé qu'on cherche sera . Car dans la fuite r.q p.a. b, on aura ( à caufe des rapports inverses) pour le rapport composé * de 1⁄2 = †,} = ;,4=;&†.

N

a

REMARQUE IV.

*381.

387. On peut même prendre une grandeur telle qu'on voudra pour le premier terme ou pour le second terme du rapport compofé qu'on cherche (ce qui peut fervir en quelques réfolutions de Problêmes, & en quelques démonstrations) par exemple, fuppofé qu'on prenne une grandeur arbitraire n pour le premier terme du rapport qu'on cherche, on fera par ordre ces proportions. rre, a. b:: n. p. 2°, c. d::p. q. 3o, e. f :: q.r. 4o, g.h::r.s. Et le rapport compofé qu'on cherche fera. Car dans la fuite n, p, q, r, s* on aura pour * 381. le rapport compofé de 7=;;= ;; }=}; ÷ = {. # ?

PROBLEME II

388. AYANT un rapport compose de plufieurs rapports, fuppofe que tous les rapports compofans foient donnez, excepté un feul, trouver le rapport compofant qui n'eft pas donné.

m

C'est à dire, quand le rapport n'eft compofé que de deux rapports, & que l'un des deux compofans eft donné, par exemple, il faut trouver l'autre.

Quand le rapport eft compofé de trois rapports, & qu'on en suppose deux donnez, par exemple,, ou que le rapport compofé des deux rapports donnez eft connu, l'on cherche le troifiéme, & ainfi des autres.

1. Maniere. Il faut divifer le rapport compofé donné par le rapport donné, s'il n'eft compofé que de deux rapports; par le rapport compofé de tous les rapports compofans donnez, fi eft compofé de plufieurs rapports, & le quotient ad dans le premier cas, af dans le fecond cas, fera le rapport compofant qu'il falloit trouver. Car il eft évident

ст

cem

cm

m

qu'en multipliant par le quotient qu'on vient de trouver, 107 & le rapport compofant donné, le produit * fera le rapport 371. compofé de ces deux rapports, . C'eft la même démonftration quand le rapport eft compofé de plufieurs rapports. 2. Maniere. Pour trouver le fecond rapport compofant du rapport compofé de deux rapports dont le premier est *341. donné, on fera cette proportion* c. d:: a. p, & fera le rapport compofant qu'on cherche. Car dans cette fuite a ̧ le rapport de eft compofé des deux rapports ; & mais par la conftruction = est celui des rapports compofans qui eft donné. Donc eft l'autre que l'on cherchoit. 341. Ou bien on fera cette proportion* d.c:: m.q, & fera le rapport qu'on cherchoit. Car dans la fuite a, q, m, *381. porteft compofé* des deux rapports &; mais par la fuppofition; par confequenteft le fecond rapport compofant.

* 381. p,m,

maniere.

m

le rap

Si eft composé de trois rapports, & qu'on en ait deux donnez,, ou que l'on ait le rapport & compofé de ces 383. 2 deux là; pour trouver le troifiéme, 1°,* on reduira les deux rapports compofans, au rapport qui en eft compofé * 341. s'ils n'y font pas réduits. 2°. On fera cette proportion * c . paq, ou celle-ci p.c: m. r. Dans le fer cas eft le ze rapport compofant qu'on cherche ; & dans le 2o cas, c'eft. Car dans le fer cas on aura, à caufe de la fuite a, q, m, le 381. rapport compofé des rapports *, ; mais eft par la suppofition égal au rapport & compofé des deux rapports compofans donnez; par confequent eft le 3e rapport compofant de. Dans le 2e cas, on aura, à cause de la fuite a‚r, *381. m, le rapport compofé & de; mais eft égal à, c'est à dire au produit des deux rapports donnez; par confequent eft le se rapport compofant qu'on cherchoit.

1

m

m

Cela fuffit pour faire connoître la maniere de trouver le feul rapport compofant inconnu qu'on cherche, lorfque tous les autres rapports compofans d'un rapport compofé donné, font connus. Si un feul rapport compofant de étoit la même methode feroit découvrir le rapport compofé des autres rapports fimples dont eft compose.

connu,

m

Ufage des rapports composez dans le Commerce.

AVERTISSEMENT.

On trouve dans le Commerce une infinité d'exemples qui dépendent des rapports compofez. On n'en mettra ici, comme en paffant, que de deux fortes pour faire voir l'ufage des rapports compofez dans le Commerce, parceque l'on n'a en vûe, en ce Traité du calcul, que l'ufage qu'il doit avoir pour apprendre à fond les Mathematiques. Les exemples de la re forte font ceux où ayant tous les rapports compofans d'un rapport compofé, & un des deux termes d'un rapport qui lui est égal, il faut trouver l'autre terme. C'est ce qu'on nomme la regle de trois compofée. Par exemple, 2000 livres rapportent en trois années 100 écus de rente, on demande combien 8000 livres donneront de rente en 12 années ? On cherche dans cet exemple un nombre inconnu d'écus qui ait avec 100 écus un rapport égal au rapport compofé des deux rapports compofans le premier de 8000 liv. à 2000 liv.le fecond de 12 années à 3 années. Les exemples de la 2o forte font ceux dans lefquels il s'agit de partager un nombre donné en un nombre déterminé de parties qui ayent entr'elles des rapports égaux à des rapports composez dont les rapports compofans font donnez. C'est ce qu'on nomme la regle de focieté ou de compagnie compofee. Par exemple fi trois perfonnes ayant fait une focieté, ont mis chacun une certaine fomme, ce qui fera les trois fommes a, b, c ; que le premier n'ait mis a que pour un temps d, le fecond ait mis b pour un autre temps e, le troifiéme ait mis c pour un autre temps f, & qu'il y ait eu un profit P, il faut partager ce profit P en trois parties inconnues x, y, z, qui ayent entre elles des rapports, égaux aux rapports compofez, dont le premier a pour rapports compofans, ; le fecond,

Tous les rapports compofans d'un rapport compose étant donnez, un feul terme étant aussi donné d'un rapport égal à ce rapport compofe, trouver l'autre terme de ce rapport égal.

Regle ou Operation. Il faut apporter toute l'attention neceffaire pour bien diftinguer par l'état de la question, tous les termes des rapports compofans dont le rapport composé doit être formé, & le terme feul connu du rapport qui lui eft égal dont on cherche l'autre terme. Après quoi on arrengera facilement les termes de cette maniere.

On fuppofera, pour une plus grande clarté, que le terme qu'on cherche eft reprefenté par x, l'autre terme du même rapport par e, les antecedens donnez des rapports compofans par a &c, leurs confequents par 6 & d. Ainfi l'on b

aura.

Le terme x qu'on cherche fera mis le dernier dans la 4o place. On mettra dans la 2o ou 3o place le terme connu e, qui eft l'antecedent du rapport dont le terme x qu'on cherche est le confequent. On écrira les uns fous les autres dans la premiere place tous les antecedens a, c des rapports compofans, & dans la 2o ou 3o place tous leurs confequents b, d, les uns fous les autres. Enfuite on multipliera tous les antecedens de la premiere place, & leur produit ac fera le premier terme d'une regle de proportion fimple; on prendra le produit bd de tous leurs confequens qui font dans la 2e ou je place, le produit bd fera le 2 ou 3 terme de la regle de trois fimple. Le terme connue du rapport dont on cherche l'autre terme, fera le 2e ou 3 terme de la regle de trois fimple. Enfin on prendra le produit bde du 2e & du ze terme de la regle de trois fimple, qu'on divifera par le premier terme a c, & le quotient de fera le terme x qu'on cherche,

EXEMPLE I.

2000 liv. (a) rapportent en 3 années (c) 100 écus(e); on demande le nombre d'écus x, que donneront 8000 liv. (b) en 12 années (d).

Arrengement des termes de la regle de trois compofee.
2000 (a) 8000 (b)

;: 100 (e). x,

12(d)
Regle de trois fimple.

6000 (ac). 96000 (bd) :: 100(e). x = 1600 écus (be). La démonstration eft évidente par le calcul litteral; car

est

bde

bde•

ac

par l'état de la question ƒ × =÷; d'où il fuit que x= Ainfi la regle fait découvrir le terme x que l'on cherche du rapport×2.

N

REMARQUE.

On peut reduire tous les Exemples de la regle de trois compofée, à plufieurs regles de trois fimples. Pour faire cette reduction dans l'Exemple précedent, on dira: Si 2000 liv. (a) rapportent en un certain temps (qui eft ici celui de 3 ans) 100 écus (e); quel eft le nombre inconnu y d'écus que rapporteront 8000 liv. (6) dans le même temps (qui eft celui 341. de 3 ans)? L'on fera donc cette proportion*2000(a).8000(b) :: 100(e). y=b400. Ainfi l'on trouvera pour 4o terme 400 écus = b. On dira enfuite, en 3 ans (c) une certaine fomme (qui eft 8000 liv.) rapporte 400 écus (); en 12 ans (d); quel nombre d'écus (x) rapportera la même fomme 8000 liv. 341. & l'on fera cette proportion* 3 (c). 12 (d) :: 400 ( ). x= bed 1600. Ainfi le terme x que l'on cherchoit eft 1600 écus, comme on l'avoit trouvé dans l'Exemple.

ac

be

Voici la raifon pourquoi on a mis cette maniere de reduire la regle de trois compofée, à plufieurs fimples. Il y a des cas où l'on cherche le terme x d'un rapport dont l'autre terme (e) eft connu, lequel rapport est égal à un rapport compofé dont tous les rapports compofants font donnez mais il y a parmi ces rapports compofants donnez des rapports inverses, & ces rapports compofants inverfes qui font connus, & qui entrent dans la regle de trois compofée, lui font donner le nom de regle de trois compofée inverse. Dans ces cas il y a une regle pour trouver le terme inconnu qu'on cherche, mais comme elle pourroit embaraffer les Commençans, on a cru qu'il valoit mieux leur apprendre à reduire tous les Exemples des regles de trois compofées, tant ceux qui ne contiennent que des rapports compofants directs, que ceux qui en contiennent d'inverses, à de fimples proportions: ce qui ne fçauroit jamais embaraffer; on en va mettre un Exemple.

EXEMPLE II..

roo Soldats (a) dépensent 40 écus (c) en 3 jours (e), en. quel nombre (x) de jours 10000 Soldats (6) dépenferont-ils 200000 écus (d)? Xx ifj