Divid.

*

fera enfuite la divifion, & le quotient qu'on cherche sera en
réduifant les fractions aux moindres termes Vis — 1710
+ 18 √21 — 2/14..

S'il faut diviser 12 par‍√7 —3, on supposera 7—1/3

on

multipliera les deux termes par 7+3, & l'on trouvera

127+ 123, on fera enfuite la division, & le quotient

4.

qu'on cherche fera 377 +3√3.

De même pour diviser a — b par Ya — 3b, on supposera

divifion, & le quotient qu'on cherche sera ya+b.
Ces exemples fuffifent pour faire clairement concevoir la
methode, & en même temps l'usage du 3e Problême.

A

La Divifion, lorfqu'il y a des incommenfurables imaginaires. 476. La divifion eft femblable à celle des grandeurs complexes; 139. il y faut obferver * la regle des fignes + &- de la divifion, 444. & ce qu'il y a de particulier à la divifion des imaginaires. Il fuffira d'en mettre ici des exemples où l'on diftinguera par une ligne ponctuée le dividende d'avec les reftes particuliers que l'on ajoute au dividende dans la pratique de la divifion. EXEMPLE I..

La Divifion des incommenfurables complexes qui ont des
incommenfurables parmi leurs termes.

477. POUR diviser une incommenfurable complexe ab3⁄4jac+ad+bc+bd

*441. par une autre a ✨ a + b ; il est évident * qu'il faut diviser, 1o, la grandeur ab qui eft hors du signe par a qui eft hors du figne, ce qui donne le quotient b; 2°, divifer la grandeur acad+bc + bd qui est sous le figne par a + b, ce ce qui donne le quotient c+d; 3°, & écrire pour quotient bc+d. Lorfque les incommenfurables complexes contiennent fous le figne des incommenfurables parmi leurs

*

termes, la divifion fe doit faire de la même maniere, en 440 obfervant ce qui eft de particulier * dans la division d'une ivan incommenfurable par une autre grandeur commenfurable, ou incommenfurable.

& les art.

fuivans.

PAR

EXEMPLE I.

AR exemple, fi l'on propose de faire la divifion de bccbc par a Va+be on divifera,

abc

a2 7 ac -a

1o, a2 par a,
a7bc

& l'on aura le quotient a; 2o, on divifera ac bccbc par abc, & l'on trouvera le quotient c bc; 3°, il faut écrire pour le quotient qu'on cherche ac- /bc.

EXEMPLE II.

le

ON trouveta de la même maniere, en divifant
aba +
'a ✦ Jab + "Ja" ~ 1c+ bc par a√ √1 + 1/6 que
và
quotient eft ba + v/c.

EXEMPLE III.

1. l'on vouloit divifer la grandeur (C.) x3 — px + q par la

F

G

2

grandeur(B)x-{q — Vq — p — √ — — g + √ q2 — — p3. Pour abreger le calcul on fuppoferoit l'incommenfurable complexe F = a, & l'incommenfurable complexe G=b, & l'on changeroit par ce moyen le diviseur Ben B. x-a—b.

On feroit enfuite la divifion, & l'on trouveroit le quo

tient

tient A, & le reste +q — ap — bp + a3 ✦za`b+3ab2 +b3.
En fubftituant dans ce refte les valeurs de a3 +b3 — — 9.
comme on l'a fait voir dans le 8e Exemple de l'article 469,
& les valeurs de ✦ za`b + zab2 — ap✦ bp, comme on
l'a montré dans le même endroit, tout ce refte entier se
trouveroit égal à zero, toutes les grandeurs dont il est com-
pofé fe détruifant par des fignes + &- oppofez, après les
fubftitutions. Ainfi on trouveroit que le quotient A est exact.

On fubftitueroit enfuite dans ce quotient les valeurs de a,
de b, & celles de a2, de zab & de b3, ces dernieres ont été
prises pour les Exemples 5o, 6o & 7° de l'article 469. Et
après ces fubftitutions le quotient A fe trouveroit changé
en la grandeur A du 8° Exemple de l'article 469; & cette
grandeur A feroit le quotient qu'on vouloit trouver de la
grandeur C divifée par la grandeur B.

La formation des puissances des fuites d'incommenfurables & des
incommenfurables complexes qui ont des incommenfurables
parmi leurs termes.

.

478. LA formation des puiffances de toutes les grandeurs, &
par confequent de toutes les grandeurs incommenfurables,
*fe fait par la Multiplication réiterée de la grandeur qu'on * 143 &
veur élever à une puiffance dont l'expofant eft donné." On 159.
peut auffi fe fervir des formules des puiffances de l'art. 160,
comme on l'a enfeigné dans les articles 171 & les fuivans.
C'est pourquoi les Commençans pourront eux-mêmes éle-
ver telle fuite d'incommenfurables qu'ils voudront, & telles
incommenfurables complexes qui ont des incommenfura-
bles parmi leurs termes, qui pourront fe préfenter, à une
puiffance donnée quelconque; puifqu'il ne faut employer
que la multiplication de ces fortes de grandeurs, qu'on leur
a enseignée. Il est inutile de groffir ce Traité de ces calculs
qui ne leur apprendroient rien de nouveau.

Remarque fur l'extraction des racines des fuites
d'incommenfurables.

479. L'EXTRACTION des racines des fuites d'incommenfu-
rables n'eft gueres d'ufage que dans l'analyse. Cette fcience
fournit une methode facile & generale pour faire l'extraction
des racines de telle fuite qu'on voudra d'incommenfurables,

On trouvera cette methode expliquée dans la derniere Section du cinquième Livre de l'Analyfe démontrée, page 257. On ne fçauroit donner ici que des methodes particulieres pour les faires de deux termes incommenfurables, de trois termes,

de

quatre termes, &c. Ces methodes feroient même difficiles à démontrer fans fe fervir de l'analyfe. On a cru qu'il feroit inutile d'en prolonger ce Traité. On fe contentera de mettre la methode pour extraire la racine quarrée des binomes, comme de 5+2/6, dont les fignes radicaux ont pour expofant 2. Voici le principe de cette methode. 480. Si l'on éleve un binome ja+ à la 2o puiffance, on trouvera le binome a+b+2ab. Cela fait voir que dans toute feconde puiffance d'un binome, laquelle n'a auffi que deux termes, l'un des termes a+b eft la fomme des quarrez des deux termes du binome qui en eft la racine, & que l'autre terme ab eft le double du produit des deux termes ja, 6 du binome qui en eft la racine.

481.

Mais les quarrez a +b des deux termes de la racine a

b qui paroiffent diftinguez dans le quarré a +b+ 2 ŵjab, font d'ordinaire confondus enfemble, comme dans 5+ 2/6 qui est le quarré de 3/2+/3. C'est pourquoi la formule a + b + 2 √ ab ne peut pas fuffire telle qu'elle eft pour donner une regle generale de l'extraction des racines 2es des binomes. Voici ce qu'il y faut ajouter.

2

Si l'on prend le quarré a2 + zab + b' du premier terme a+b, & qu'on en ôte le quarré 4ab du second terme 2 Jab, on aura a2 — 2ab+b2 qui eft le quarré de a-b difference des quarrez a & b des deux termes a, b de la racine. Si l'on prenda-bracine 2o de a2 — zab + b2, & que, 1o, on l'ajoute au rer terme a+b dubinome a+b+2ab, on trouvera 2a, dont la moitié a fera le quarré du 1er terme de + 7 b 2o. Si l'on retranche a -b de ab, l'on trouvera 26, dont la moitié b fera le quarré du fecond terme b de Va+Y/b.

On déduit de-là cette regle pour l'extraction de la racine quarrée des binomes.

Pour tirer la racine quarrée d'un binome comme 7+48, 1o, il faut ôter le quarré du moindre terme du quarré du plus grand terme, & prendre la racine quarrée du refte. ( Dans cet exemple il faut ôter 48 quarré de 48 du quarré 49 du plus grand terme 7, & prendre 1 qui eft la racine quarrée du refte 1.)