7.

7.

Si à des grandeurs égales l'on ajoute des grandeurs inégales, ou fi de ces grandeurs égales l'on en retranche d'inégales, les grandeurs qui en naîtront feront inégales; & celles aufquelles on aura ajouté les plus grandes, comme auffi celles dont on aura ôté les moindres, feront les plus grandes.

8.

8. Si à des grandeurs inégales l'on ajoute des grandeurs éga les, ou fi de ces grandeurs inégales l'on en retranche d'égales, les grandeurs qui en viendront feront inégales; & celles qui étoient les plus grandes avant l'addition ou le retranchement, le feront encore après.

Voilà les principaux axiomes des Mathematiques; quand on aura befoin des autres, ils fe préfenteront fi clairement & fi naturellement à l'efprit, qu'il eft inutile de les mettre

ici.

AVERTISSEMENT.

pour

*

Les Chifres qu'on verra à la marge au commencement des principales propofitions de ce Traité, ne font marquez que pour les citer dans les endroits où ces propofitions fervent de Or preuves. les citer on met cette marque *; ainfi quand on trouvera dans la fuite cette marque* dans le Traité, & à la marge vis à vis la même marque avec un nombre, cela fignifiera que la preuve que l'on cite eft dans la propofition ou dans l'article à qui convient le nombre, qui est à la marge à côté de la marque*.

*

Les Principes dont on déduira les démonftrations des premieres Regles du Calcul pour les grandeurs numeriques.

DEFINITIONS.

I.

N prend dans toutes les efpeces de grandeurs une de leurs parties qu'on détermine, à qui on attribue l'idée de l'unité: c'est à dire, on la confidere par raport aux grandeurs de même espece, comme l'unité par raport aux nombres. Par exem

9.

10.

II.

ple, on prend dans les longueurs une longueur déterminée pour l'unité qu'on nomme un pied; dans les largeurs, une largeur d'un pied quarré; dans les folides, un corps folide d'un pied cubique, dans les poids on prend une livre, dans les teinps, une heure ; dans les mouvemens, un degré de mouvement; dans les vîteffes, un degré de vîteffe, & ainfi des autres.

On compare enfuite les grandeurs avec leur unité, & om leur attribue les idées des nombres. Quand une grandeur contient fon unité exactement plufieurs fois, on la nomme un nombre entier ; ainsi 4 pieds, 4 livres, 4 heures, &c. font des nombres entiers.

La maniere de marquer les nombres eft arbitraire, on en voit de differentes parmi les differentes Nations, la plus commode, que l'on a reçue des Arabes, eft de marquer les nombres par les chifres. La voici.

1 fignifie un 3 2, deux ; 3, trois ; 4, quatre ; 5, cinq 5 6, fix; 7, fept; 8, huit; 9, neuf. Il n'y a que ces neuf caracteres qu'on nomme chifres, pour marquer les nombres, & ils fuffifent pour cela, comme on le verra dans la définition fuivante; mais on remarquera que l'on fe fert encore d'un dixième caractere o, qu'on nomme zero, & qui fignifie rien; c'est à dire, que là où l'on marque o, il n'y a aucun nombre, ni aucune unité, ni aucune grandeur.

4.

Pour marquer tous les nombres entiers, quelque grands qu'ils puiffent être, avec les feuls dix caracteres précedens, on écrit ces nombres dans une ligne droite en allant de droite à gauche, & l'on marque dans le premier rang à droite le chifre qui exprime les unitez de ces nombres au deffous de dix; dans le fecond rang, le chifre qui exprime combien ces nombres contiennent de dixaines d'unitez au deffous de dix; dans le troisième rang, le chifre qui marque combien ils contien nent de dixaines de dixaines, qu'on nomme des centaines d'unitez, au deffous de dix; dans le quatrième rang, le chifre

qui marque combien ils contiennent de dixaines de centaines qu'on nomme des mille, & ainfi de fuite en allant de droite à gauche, comme on le voit dans cet exemple; & l'on doit remarquer que quand il n'y a point de chifre à mettre dans un rang, & qu'il y en a cependant dans les rangs fuivans vers la gauche, on marque o dans ce rang là, tant pour exprimer qu'il n'y a point de nombre convenable à ce rang, que pour diftinguer l'ordre des rangs des chifres qui font vers la gauche.

Pour exprimer facilement un grand nombre, il n'y a qu'à le partager par des points de trois en trois rangs, en allant de droite à gauche, & enfuite par des virgules de neuf en neuf rangs auffi de droite à gauche, & remarquer, 1°, qu'en chaque ternaire le premier rang à droite ne contient que des unitez, qui retiennent le nom d'unitez dans le premier ternaire; mais que ces unitez fe nomment mille dans le fecond ternaire, & millions dans le troifiéme. Que dans le fecond rang de chaque ternaire ce font des dixaines, & dans le troifiéme rang des centaines. 2°, que dans le fecond novenaire (pour ainfi parler) les unitez fe nomment milliars; dans le troifiéme, bi-milliars, qu'on a ainfi marquées 2-milliars; dans le quatrième, tri-milliars, qu'on a ainfi exprimées 3-milliars, &c. Ainfi quelque nombre de rangs que puiffe occuper un grand nombre, pourvû qu'on fçache fon dernier rang à gauche, qui eft, par exemple, le trentiéme, on voit tout d'un

12.

coup que contenant trois novenaires, & de plus trois rangs du quatrième novenaire, le dernier chifre à gauche exprime des centaines de 3-milliars. On peut ainfi énoncer le nombre qui précede: Trois cens vingt & un 3-milliars neuf cens qua. tre-vingt fept millions fix cens cinquante & quatre mille trois cens vingt & un 2-milliars deux cens dix-neuf millions huit cens fept mille fix cens cinquante & quatre milliars trois cens vingt-neuf millions huit cens septante fix mille cinq cens quarante & trois unitez.

On partage, pour la commodité des calculs, l'unité en dix parties; chacune de ces dixiémes en dix parties, qui font des centièmes de l'unité; chaque centiéme en dix parties, qui font des milliémes de l'unité; chaque milliéme en dix autres, & ainfi de fuite à l'infini. Quand un nombre contient un nombre entier d'unitez, & qu'il contient de plus de ces fortes de parties, qui font des dixièmes de l'unité, des centiémes, des milliémes, &c. l'on ajoute les chifres qui marquent ces parties dans la même ligne au devant de l'unité, en allant dans ce cas de gauche à droite ; & quand il manque un chifre dans l'un des rangs, on marque o dans ce rang là, pour diftinguer les rangs qui font plus à droite.

Pour diftinguer ces parties décimales des unitez entieres, on marque un point, ou une virgule, ou une petite ligne, ou un petit arc entre les unitez entieres & les parties décimales. On peut auffi marquer au haut du dernier chifre à droite des parties décimales, le chifre en petit caractere, qui exprime le rang où il est comme l'on voit ici, ce qu'on néglige ordinairement comme inutile.

Corollaires de la quatriéme & cinquiéme Définition.

COROLLAIRE

I.

13. Dix unitez d'un rang ne valent qu'une unité dans le rang qui eft immédiatement plus à gauche. Dix centaines, par exemple, ne valent qu'un mille.

14. UNE

COROLLAIRE I I.

NE unité d'un rang vaut dix dans le rang qui eft iminédiatement plus à droite: par exemple, un mille vaut dix cen

taines.

Ces deux premiers Corollaires conviennent aux nombres entiers, & aux nombres qui contiennent des parties décimales.

COROLLAIRE III, pour les nombres entiers. 15. Si l'on recule d'un rang un nombre qui n'a que des entiers, on le fait valoir dix fois plus qu'il ne valoit; fi on le recule de deux rangs, cent fois plus; fi on le recule de trois rangs, mille fois plus, & ainfi de fuite : par exemple, mettant deux zeros devant 53, on aura 5300, qui vaut cent fois plus que 53.

COROLLAIRE IV, pour les nombres entiers. 16. Si l'on ôte un rang à droite d'un nombre entier, on le fait valoir dix fois moins qu'il ne valoit; fi l'on en ôte deux rangs, cent fois moins, & ainfi de fuite. Ainfi ôtant deux rangs de 5300, on aura 53, qui vaut cent fois moins que 5300.

OUR

Pour les nombres qui contiennent des parties décimales. 17. Pour réduire un nombre entier en dixièmes, fansen changer la valeur, il n'y a qu'à ajouter un zero, en mettant un point entre le nombre & le zero que l'on ajoute. Pour le réduire en centiémes, il faut lui ajouter deux zeros; en milliemes, trois zeros, & ainfi de fuite. De même, pour réduire un nombre qui exprime des parties décimales de l'unité, c'est à dire des dixiémes, centiémes, milliémes, &c. en parties décimales plus petites, il n'y a qu'à ajouter à ce nombre, qui

B