complexes.

L paroît évident qu'en fuppofant une grandeur 4 divifée en tant de parties qu'on voudra, comme b + c + d ; & une autre grandeur B divifée en tant d'autres qu'on voudra, comme e +f+g; le produit, qui doit venir de la multiplication de la grandeur A par B, doit être le même que la fomme des produits qui viennent de la multiplication de toutes les parties b+c+d de A par chacune des parties e +f +g de B. Par confequent le produit total d'une grandeur complexe, qui peut être représentée par A, multipliée par une autre grandeur complexe, qui peut être représentée par B, eft égal à la fomme des produits de toutes les parties de la grandeur complexe A multipliées par chacune des parties du multiplicateur complexe B. Or la regle que l'on a donnée fait découvrir la fomme de ces produits; elle fait donc trouver le pro duit de la grandeur complexe A multipliée par le multiplicateur complexe B.

Kij

La démonstration précedente paroît évidente pour tous les cas de la multiplication des grandeurs litterales complexes, foit que les grandeurs litterales multipliées l'une par l'autre expriment des nombres entiers, foit qu'elles expriment ou des grandeurs rompues, ou des grandeurs incommenfurables: fi cependant quelques Lecteurs trouvoient de la difficulté, par rapport aux deux derniers cas, voici une autre démonstration.

b

On prendra pour exemple, afin de rendre la chofe plus fimple, la multiplication de a par cd, dont le produit, fuivant la Regle, eft ac+bc + ad+bd. Il faut

72. démontrer que * b

ac + bc + ad + bd•

*

C

+

ab

* 72. En voici la démonftration. /==/ + ac ✦ bc + ad ✦ bd =*. D'où l'on aura* = 1 ac+bc'

*72.*56.

*72.*56. De même =*=*. D'où l'on aura *

I a+b

bd

* 53. * 63. * 1. 2 :: 4 + 4+. Par confequent *

ad+bd'

I

72. Ainfi le produit de a + b multiplié par
✦ad + bd. Ce qu'il falloit démontrer.

102.

=

a+b ad+ad'

+

Donc

a+b

ac + b c + ad + bd•

cd est ac+ be

Cette démonftration peut facilement s'appliquer à toutes les multiplications des grandeurs complexes litterales,

REMARQUES,

I.

L'ORDRE des grandeurs eft indifferent dans le produit de deux grandeurs complexes multipliées l'une par l'autre : neanmoins il eft bon d'ordonner les grandeurs d'un produit de maniere que la grandeur incomplexe, qui contient la puiffance la plus élevée de l'une des lettres du produit comme a dans les trois premiers exemples, foit la premiere grandeur incomplexe du produit la plus à gauche, que la grandeur qui contient la puiffance de la même grandeur, dont l'expofant eft moindre d'une unité que celui de la plus élevée, foit la feconde grandeur du produit; que la grandeur qui contient la puiffance, dont l'expofant eft moindre d'une unité que la précedente, foit la troifiéme grandeur du produit, & ainfi de fuite jufqu'à la derniere grandeur qui eft la plus à droite, qui doit contenir la moindre puiffance de la lettre a, quand la lettre a est dans toutes les grandeurs du

produit; mais quand il y a quelque grandeur, qui ne contient point du tout cette lettre a, cette grandeur doit être la derniere du produit.

On voit dans le troifiéme exemple que la grandeur du produit vers la gauche eft a; la feconde ab, dans laquelle a2 eft une puiflance de a d'un degré moindre que a1; la troifiéme eft+3ab dans laquelle a eft, pour ainfi dire, une puiffance de a moindre d'un degré que a; enfin - b', où a ne fe trouve point, eft la derniere grandeur du produit.

Quand les grandeurs d'un produit font difpofées comme on vient de l'expliquer, par rapport aux puiffânces d'une des lettres du produit, on dit que le produit eft ordonné par rapport à cette lettre. Cette lettre eft ordinairement arbitraire dans les produits; cependant dans les produits qui fervent à la réfolution des Problêmes, les grandeurs inconnues qu'on marque par les lettres x, y, z, &c. & qui font les grandeurs que l'on cherche dans ces Problêmes, font les lettres qui fervent à ordonner les produits, comme on le voit dans le qua triéme exemple.

Toutes les grandeurs d'un produit qui contiennent la mê me puiffance de la lettre, par rapport à laquelle le produit eft ordonné, s'appellent un terme du produit ; & quand il y en a plufieurs qui ne font qu'un même terme, on les écrit or dinairement les unes fous les autres, comme dans le quatriéme exemple, où les deux grandeurs - 3fxgx ne font qu'un même terme. La lettre, par rapport à laquelle un produit eft ordonné, fe nomme auffi la lettre qui diftingue les termes du produit. Le premier terme contient la plus haute puiffance de cette lettre; le fecond, celle qui eft moindre d'un degré que la plus haute, le troifiéme terme, celle qui eft moindre que la précedente, & ainfi de fuite jufqu'au dernier, qui contient la moindre puiffance de cette lettre, quand elle eft dans toutes les grandeurs du produit ; & quand elle n'eft pas dans toutes, le dernier terme eft celui qui eft compofé de toutes les grandeurs où cette lettre n'eft pas.

Il arrive quelquefois que les puiffances de la lettre qui diftingue les termes d'un produit, ne vont pas en diminuant d'un degré d'un terme à l'autre qui le fuit; comme dans ce produit a + ba+b*a2 — bo.

Dans ces cas, pourvû que les expofans des puiffances de

cette lettre foient en progreffion arithmetique, comme dans cet exemple, les termes fe diftinguent par les puiffances de cette lettre, dont les expofans font en progreffion arithmetique. Ainfi le premier terme eftas, le second terme est b`a*, & ainfi de fuite.

2.

103. Quand chacune des grandeurs du produit a le même nombre de dimensions, on dit que ces grandeurs font homogenes. Quand un nombre précede une grandeur, il n'eft pas compté pour une des dimenfions du produit. Ainfi la grandeur 3ab n'est que de trois dimenfions.

On obferve ordinairement de faire toutes les grandeurs d'un produit homogenes, & cela s'appelle obferver la loi des homogenes.

Si les grandeurs d'un produit n'étoient pas homogenes, on pourroit les rendre homogenes par le moyen de l'unité, fans en changer la valeur ; ainfi pour rendre les grandeurs abc+cc homogenes, on peut multiplier ce par 1, & l'on aura abc + 1 × cc, où les grandeurs font homogenes; & il eft évi*92. dent * que le produit d'une grandeur par l'unité, n'en change pas la valeur.

104.

3.

La multiplication des grandeurs litterales eft generale, & peut convenir à toutes les grandeurs qu'on peut imaginer; car on peut fuppofer telles grandeurs qu'on voudra; par exemple, telles lignes droites qu'on voudra représentées par les lettres qui font multipliées les unes par les autres dans un produit litteral. Or comme on peut fuppofer telles grandeurs qu'on voudra représentées par les lettres, on peut de même fuppofer l'unité, à laquelle ces grandeurs auront rapport, telle qu'on voudra. Ce qui fait voir que l'unité est arbitraire dans les grandeurs litterales, & on peut la représenter par une lettre. Ainfi l'on peut fuppofer que a repréfente la ligne prife pour l'unité par rapport à deux autres lignes b. 72, &c; & la multiplication de ces lignes * renfermera cette proportion a. b::c.bc.

On peut même prendre parmi les grandeurs litterales d'un produit qui fert à réfoudre une queftion, celle qu'on voudra pour l'unité, pourvû que dans toute la question on rapporte

toutes les grandeurs litterales à cette feule grandeur, com-
me à l'unité, & qu'on n'en prenne pas d'autres pour l'unité.
Cela fert à faciliter la réfolution de plufieurs questions. Cela
fert auffi à rendre les grandeurs d'un même produit com-
plexe, homogenes, en fuppléant par le moyen de la lettre
prise pour
l'unité au défaut des dimenfions des grandeurs
qui n'en ont pas affez pour être homogenes aux autres. Par
exemple, fuppofant que a eft prife pour l'unité dans abc+cc,
on rendra ces deux grandeurs homogenes en écrivant abc

+ acc.

SECTION IV.

Où l'on explique la Divifion des grandeurs entieres.

DEUX

DEFINITIONS.

EUX nombres étant donnez, comme 12 &4, fi l'on cher che combien de fois 4 eft contenu eft contenu dans 12, en difant combien de fois 4 est-il en 12? Il y eft 3 fois; c'est ce qu'on nom、 me divifer 12 par 4.

Le nombre 12 eft celui que l'on divife, & on l'appelle le dividende ou le nombre à divifer ; le nombre 4, par lequel on divife 12, s'appelle le divifeur; le nombre 3 que l'on trouve par la divifion, & qui exprime combien de fois 4 eft dans 12, le nomme le quotient ; & c'est le quotient que l'on cherche par la divifion.

Puifque le diviseur 4 eft contenu dans le dividende 12 autant de fois que l'exprime le quotient 3; il est évident qu'en prenant le divifeur 4 autant de fois que le marque le quotient 3, c'eft à dire 3 fois, on aura le dividende 12 pour le produit de 4 par 3. D'où l'on voit que le dividende 12 eft le produit du divifeur 4 multiplié par le quotient 3; ainfi le dividende 12 peut être regardé comme un produit, dont les côtez ou les dimensions font le divifeur & le quotient; & dans une divifion où le produit 12 eft donné avec un de ses côtez 4, la divifion fait trouver l'autre côté 3 du produit.

Pour marquer la divifion d'un nombre par un autre, on écrit le dividende le premier, on tire une ligne au deffous & l'on écrit le diviseur fous la ligne. Par exemple = 3x