fignifie que 12 divifé par 4 est égal à 3. De inême marque Définition generale de la Divifion qui convient à tontes fortes de 106. DIVISE IVISER une grandeur quelconque c par une autre grandeur quelconque b, c'eft trouver une grandeur qu'on nommera a, qui foit à l'unité comme le dividende e eft au diviseur b. D'où l'on voit qu'il y a une proportion dans toute divifion, dont le premier terme eft le dividende c; le fecond ter me eft le divifeur b; le troifiéme terme eft le quotient a = 105. *, le quatriéme terme eft l'unité. Le premier, le fecond & le quatriéme terme de cette proportion font donnez, & la divifion fait trouver le troifiéme terme qui eft lequotient. Voici l'expreffion de cette proportion c. b :: a ( ). 1. Ou bien === COROLLAIRES qu'il faut fe rendre très familiers. C quil faut I. le LE dividende c eft le produit du diviseur b multiplié par 107. quotient a = a. Car puifque les rapports & sont égaux, leurs rapports inverfes font auffi égaux 1.a (†) :: b. c. *55.* 72. Donc *c eft le produit de 6 multiplié par a, ou de 6 mul*105. tiplié par * a. COROLLAIRE II. 108. L'UNITE' étant divifée par l'unité, le quotient eft l'unité. I =1; car l'unité eft contenue une fois dans elle-même. Ainfi le quotient qui vient de 1 divifé par 1 eft ; & comme toute grandeur eft auffi contenue une fois dans elle-même, tous les rapports d'égalité, t, &c, ont auffi pour quotient l'unité; ainfi ils font égaux entr'eux, & ils font égaux à l'unité, & ils peuvent être pris pour l'unité. 109. DEUX COROLLAIRE III. EUX grandeurs quelconques c & e, étant divifées par une même grandeur d'; les deux quotiens, ont le même rapport que les deux grandeurs c &e. Il faut démontrer que Démonftration c C :: e d d e.. D'où l'on déduit * c . e ::.. Ce qu'il fal- * 52.* 62. loit démontrer. REMARQUE. CE troifiéme Corollaire & la propofition de l'article 75, abc 2 a :: D'où l'on voit que quand les deux termes d'un rapport font multipliez chacun par les mêmes multiplicateurs, ou divifez chacun par les mêmes divifeurs, on peut abreger l'expreffion de ce rapport, & la rendre plus fimple fans changer le rapport; en effaçant les communs multiplicateurs ou les communs divifeurs. Ainfi . De même 176 :: a3. a'b :: a. b. Il faut fe rendre cette remarque & les articles 75 très familiers, à caufe de leur grand ufage. COROLLAIRE IV. 110. IL fuit du Corollaire précedent que deux grandeurs égales étant divifées par la même grandeur, ou, ce qui revient au même, par des grandeurs égales, les quotiens font égaux. Car les rapports des deux grandeurs divifées, à leurs divifeurs, étant les mêmes que ceux des quotiens à l'unité; les deux * 106. grandeurs ne peuvent pas être égales, & leurs divifeurs aussi egaux, que les quotiens n'ayent le même rapport à l'unité. Ces quotiens font donc * égaux.. III. DANS to Ι * COROLLAIRE V. * 53. ANS tout rapport & dans toute fraction, le premier terme est au second, c'est à dire le numerateur cft au dénominateur, comme le rapport ou la fraction eft à l'unité. Car* * 109, L 48. 19. a.bt. :: = 1. On le peut auffi déduire des définitions✶ 47 & de fraction, &* de rapport, comme on le va voir. Cela eft évident dans toute fraction; car dans toute fraction, (on prendra la fraction pour rendre la chofe plus 19. claire)l'unité eft conçue partagée en autant de parties égales que le dénominateur contient d'unitez, & le numerateur marque combien la fraction contient de ces parties de l'u48. nité; ainfi l'on a cette proportion 2. 3 :: . 1 (). * Puisque les confequens 3 & 1 ou, étant partagez chacun en trois parties égales, chacun des antecedens contient deux aliquotes femblables de fon confequent. mx C'est la même chofe dans tout rapport; car, par exemple, dans le rapport de 2 à 3 confideré comme rapport, on fait attention que l'antecedent 2 eft les deux tiers de fon confequent 3, ou qu'il contient deux des parties, dont le confequent en contient 3. Et en faifant comparaifon du rapport à l'unité, on voit que contient auffi deux des parties dont l'unité en contient trois ; & par confequent le rapport de 2 à 3 eft égal au rapport de à 1 ou à 3. Et l'on voit affez que cela convient à tout rapport, & qu'on n'a pris le rapport que pour s'expliquer plus clairement. Si le rapport eft incommenfurable comme 2, & en general ***, où l'on fuppofe qu'en quelque nombre d'aliquotes que le confequent puiffe être partagé, l'antecedent en contient un certain nombre avec un refter plus petit que chaque aliquote; il est évident qu'en concevant l'unité partagée dans le même nombre d'aliquotes que le confequent, l'on aura toujours la proportion 2 + r. 3 :: 2.1. Et en general nx r. mx :: "x". I = . Car qui eft trois fois dans l'unité — fera deux fois dans le rapport avec un petit refte, comme le tiers de 3 est deux fois dans 2 + r avec un petit reste & en general, qui eft dans 1 = autant de fois que le nombre m contient d'unitez, est dans le rapport autant de fois que le nombre entier n contient d'unitez avec un petit refte, comme l'aliquote femblable x de mx eft dans nx rautant de fois que le nombre entier n contient d'unitez avec un petit r. m mx nx + r mx + D'où l'on voit que quand le premier terme d'un rapport 112. ou d'une fraction est égal au second; le rapport, ou la fra- COROLLAIRE VI. Τουτ rapport & toute fraction * eft le quotient du pre- * 106. 113. LES COROLLAIRE VII. Es rapports inverfes des rapports égaux du précedent Corollaire font égaux. Ainfi en toute fraction & en tout rapport, l'unité eft à la fraction ou au rapport, comme le fecond terme du rapport eft au premier terme. 1.::b.a. De même 1.:: 3.2. I 2 3 * COROLLAIRE VIII. 114. Doù il fuit que le premier terme d'un rapport & d'une fraction eft le produit du fecond terme de ce rapport multiplié par le rapport même, ou par la fraction même. L COROLLAIRE IX. 115. Il est évident, par le fixiéme Corollaire, qu'un rapport, une COROLLAIRE X. 116. Doù il fuit que deux rapports ou deux fractions, qui ont un même second terme ou un même confequent, font entr'elles comme les antecedens, *.:: a. c. Car les rapports &, font les deux grandeurs a &c divifées par le même divifeur b. b REMARQUE. ON &c. font des grandeurs égales. Car ce font des grandeurs qui ont un même rapport avec une même grandeur qui eft III. l'unité, puifque chacun de ces rapports cft à l'unité comme fon premier terme eft à fon fecond terme. D'où l'on voit que tous les rapports d'égalité font égaux chacun à l'unité } ==}=} = 1. Ainfi l'on peut prendre, si l'on en a befoin pour une démonftration, un rapport d'éga lité pour l'unité, l'unité, & l'unité pour un rapport d'égalité. = COROLLAIRE XI. 117. UNE grandeur quelconque étant divifée par l'unité, comme, a la même valeur que fi elle n'étoit point divifée, c'est à dire b; car. 1 :: b. 1. D'où l'on voit que toute grandeur entiere a peut être regardée comme une fraction, ou comme un rapport, dont le premier terme eft cette grandeur a, & le fecond terme eft l'unité. COROLLAIRE XII, qui eft une propofition fondamentale. 118. DEUX rapports, font entr'eux, comme le produit des extrêmes ad eft au produit des moyens br. C'est à dire · ¿ :: ad, bc. b d Démonftration. Qu'on divife ad & bc par la même gran. * 109. deur hd, l'on aura cette proportion* ad. :: ad.bc. Mais *75.*75. ad =*, & b bc = bd *. Par confequent.::::; *53.*109. * ad. bc. Ce qu'il falloit démontrer. * COROLLAIRE XIII, qui eft une propofition fondamentale. 119. D'où il fuit que quand deux rapports sont égaux, (c'est à dire que dans toute proportion) le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens. Si, il fuit neceffaire*118. ment que ad bc; car puifque les rapports puifque les rapports, font égaux, il faut que les produits ad & be foient égaux. Et quand deux produits font égaux, comme ad= bc, on peut toujours en faire une proportion, en prenant les deux côtez de l'un des produits pour les deux extrêmes, & les deux côtez de l'autre pour les deux moyens de la proportion. Par exemple, fi ad be, l'on aura a. b: c. d, ou f = &; car 120. |