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exprimer. 2°. Il y a des grandeurs qui ne contien nent pas l'unité exactement plufieurs fois; mais elles contiennent exactement une certaine partie déterminée de l'unitél: par exemple, deux tiers de l'unité, trois quarts de l'unité, &c. Ces rapports des grandeurs aux parties déterminées de l'unité qu'elles contiennent, ou, fi l'on veut, les grandeurs qui ne contiennent pas exactement l'unité, mais quelque partie de l'unité, fe nomment fimplement rapports, on les nomme auffi fractions; on les appelle encore des nombres rompus. On les exprime ces rapports, ou ces fractions, par deux nombres pofez l'un fur l'autre, & feparez par une ligne, de cette maniere, (deux tiers), (trois quarts) &c. Le nombre d'en bas marque en combien de parties. égales l'unité eft divifée, & celui d'en haut, combien la fraction contient de ces parties de l'unité. Dans la fraction (deux tiers), 3 marque que l'unité eft divifée en trois parties égales, ou en tiers * & 2 exprime que cette fraction contient deux de ces tiers. 3o. L'unité materielle & divifible peut être conçûe divifée en tel nombre de parties égales qu'on voudra, & cela en allant de plus petites en plus petites, fans aucune fin. En quelque nombre de petites parties égales qu'on puiffe concevoir l'unité divifée, il y a des grandeurs qui étant comparées avec l'unité, ne contiennent jamais exactement une de ces parties égales, quelque petites qu'elles foient; mais elles contiennent toujours, outre ces petites parties égales, un petit reste ; quelque fuppofition que l'on faffe, que ces petites parties de l'unité foient elles-mêmes divifées de plus

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petites en plus petites sans fin, il arrivera toujours que ces grandeurs ne contiendront jamais exactement ces plus petites parties égales de l'unité, un certain nombre de fois; mais il y aura toujours un petit refte moindre que l'une de ces parties égales. (On le démontrera dans la science du Calcul.) Ces grandeurs n'ont donc aucune mesure commune avec l'unité, & on nomme, à caufe de cela, leurs rapports avec l'unité, des rapports incommensurables, ou, fi l'on veut, on nomme ces grandeurs, des grandeurs incommenfurables: on leur donne des expreffions propres qu'il feroit inutile de marquer ici, où elles cauferoient de la difficulté aux Commençans. Or ces trois fortes de rapports des grandeurs avec l'unité, comprennent tous les rapports poffibles. On peut les concevoir en general, fans penfer aux grandeurs particulieres & sensibles. Âinsi on peut exprimer par leur moyen tous les rapports des grandeurs en general.

La troifiéme maniere d'exprimer les grandeurs en general, & tous leurs rapports, eft de marquer les grandeurs & leurs rapports, par les lettres de l'alphabet; ce font les caracteres les plus fimples & les plus familiers. Cette maniere eft la plus generale de toutes. On peut representer par une lettre tous les nombres entiers, tous les nombres rompus, toutes les grandeurs incommenfurables, en fuppofant que notre efprit peut fubftituer fucceffivement à la place de cette lettre, tous les nombres entiers & rompus, & toutes les grandeurs incommenfurables. On peut reprefenter de même par des lettres toutes les lignes, & toutes les

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figures poffibles, & tous leurs rapports, en fuppofant par notre esprit toutes ces lignes & leurs rapports, & toutes ces figures avec leurs rapports, fubftituées les unes après les autres à la place de ces lettres par lesquelles notre efprit les apperçoit toutes reprefentées. On peut de même concevoir toutes les grandeurs particulieres & fenfibles, avec tous leurs rapports, reprefentées par les lettres. Ainfi tout ce que l'on démontre par ces expreffions litterales, & tout ce qu'elles font découvrir, convient neceffairement à toutes les grandeurs.

Ces trois manieres d'exprimer les grandeurs en general, & tous leurs rapports, font feparement. l'objet des trois sciences generales des Mathematiques.

La Geometrie a pour objet les grandeurs en general, & tous leurs rapports, reprefentez par les lignes & par les figures, ou plutôt, quoique la Geometrie femble avoir pour objet particulier, les rapports des trois dimensions du corps, des longueurs,, des furfaces, & des folides; comme ces rapports peuvent auffi exprimer tous les rapports de toutes. les grandeurs particulieres & sensibles, la Geometrie eft une science generale des Mathematiques, qui doit préceder les Mathematiques particulieres & fenfibles, & elle les contient éminemment.

L'Arithmetique a pour objet les grandeurs en general, & tous leurs rapports reprefentez par les expreffions des nombres, c'est-à-dire, toutes les grandeurs numeriques.

L'Algebre a pour objet toutes les grandeurs, & tous leurs rapports representez de la maniere la

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plus generale qu'on puiffe concevoir par les lettres de l'alphabet; ce qui les fera nommer les grandeurs litterales.

Ces deux fciences l'Arithmetique & l'Algebre, ont une liaison naturelle; elles enseignent à faire des operations semblables, l'une fur les grandeurs numeriques, l'autre fur les litterales; elles se prêtent des fecours & des éclairciffemens reciproques. La grande univerfalité de l'Algebre furprend d'abord l'efprit des Commençans, & le tient comme en fufpens. Ils ne fçavent à quoi ils doivent déterminer ces idées fi generales des expressions de l'Algebre. L'Arithmetique les fixe par les idées immuables des nombres qui font familiers à tout le monde. Ils peuvent d'abord supposer des nombres entiers déterminez à la place des lettres, & ensuite en supposer d'autres tels qu'ils voudront; & la verité generale que leur prefente l'expression litterale, fe trouvera convenir à tous ces nombres. Après cela ils peuvent fuppofer des nombres rompus tels qu'il leur plaira, au lieu des lettres de l'expreffion generale, puis des grandeurs incommenfurables quelles qu'elles puiffent être ; & voyant toujours que la verité generale de l'expreffion litterale fe trouve convenir à toutes ces grandeurs dont le nombre eft infini, ils s'éleveront enfin à l'entiere univerfalité des expreffions litterales, & ils s'accoutumeront à voir toutes les grandeurs pof fibles avec leurs rapports, reprefentées par les expreffions litterales; & que les refolutions que fait découvrir le calcul des grandeurs litterales, font generales, & conviennent à toutes les grandeurs.

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poffibles. Enfin ces deux Sciences mêlent fouvent enfemble leurs expreflions dans les mêmes operations. Ces raisons ont porté à ne faire qu'une même Science generale de ces deux là, à laquelle on donne le nom de La fcience du Calcul des grandeurs en general. On y explique à fond l'une & l'autre ; on a tâché de n'y oublier aucun des principes, ni aucune des operations de l'une & de l'autre. C'est par cette Science qu'on doit commencer à apprendre les Mathematiques. Elle en contient les Elemens, ou plutôt elle les comprend toutes par fon univerfalité, & elle donne la Methode la plus fimple, la plus facile, la plus sûre, & qui eft la plus proportionnée à l'étendue bornée de l'efprit, pour les apprendre avec plaifir, comme fi on les découvroit foi-même. En voici une notion en peu de mots.

On donne dans cette Science des expreffions, par le moyen des chiffres, & par le moyen des lettres, aux grandeurs confiderées en general, & general, & à tous les rapports qu'elles peuvent avoir entr'elles. On en donne aux grandeurs entieres, aux grandeurs rompues, & aux grandeurs incommenfurables, qui les diftinguent les unes des autres. Cependant l'univerfalité des expreffions litterales eft cause que les expreffions litterales des grandeurs entieres, & toutes les operations faites fur ces expreffions, conviennent auffiaux grandeurs rompues, & aux x grandeurs incommenfurables; mais les differens degrez de compofition des rapports des grandeurs, & les differentes comparaifons qu'il faut faire des uns avec les autres, obligent auffi de donner des expreffions propres aux grandeurs rompues, & aux gran