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droit d'un triangle rectangle, on mene à son hypotenuse BC une perpendiculaire AD, ce triangle fera divifé en deux autres triangles ABD, ADC, qui feront femblables entr'eux & au triangle total ABC.

DEMONSTRATION.

Les angles BAC, ADC font égaux,puifque celui-ci eft droit, de même que celui-là, par la fuppofition; l'angle ACD eft commun aux deux triangles B AC, ADC: donc le troifiéme DAC eft égal au troisiéme A BC *: donc les deux triangles *S. n. 236 ABC, ADC font femblables

*

: on démontrera de la même *S. n. 10, maniére que les deux triangles ABC, ABD, font auffi femblables; mais les deux triangles ABD, ADC étant semblables au triangle ABC, il est évident

26.

qu'ils font femblables entr'eu x C. Q. F. D.

THEOREME VII.pl.2.fig.30.31. Les deux triangles ABC, DEF font égaux en tout, fi les trois côtez de l'un, font égaux aux trois côtez de l'autre, chacun à chacun.

DEMONSTRATION.

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Faites paffer par les trois points A, B, C une circonférence, auffi bien que par les points *L.I. n.55. D,E,F.* Les trois côtez de ces triangles font égaux chacun à chacun,par la fuppofition: donc les trois points A, B, C ont entr'eux la même distance que les trois points D, E, F: donc les circonférences qu'on a fait paffer par les uns & par les autres font égales *: donc les arcs foutenus par les côtez égaux,' AC, DE, AB, EF, CB,

L. 1. n.57.

DF font égaux *: donc les an L.1. n.23. gles des triangles ABC, DEF, mefurés par ces arcs, font égaux

*:donc ces triangles font égaux *L.2. n. 25. en tout*. C. Q. F. D.

THEOR.VIII.pl.2.fig.32:33.34.

•S. n. 13.

Si deux triangles ABC, EFD 27. ont deux côtez AB, AC; EF, ED égaux, chacun à chacun & les angles BAC, FED,compris par ces côtez, auffi égaux, je dis que les deux triangles font égaux en tout.

DEMONSTRATION. Que l'on imagine que les deux triangles ABC,EFD font joints, en forte que les lignes AC, ED ne faffent qu'une, comme LH, &que les angles BAC, FED, que l'on a fuppofé égaux, foient alternes, comme GHL, ILH. Je dis que GH eft parallele à LI *; mais GH par la fuppofi-*L.2. n.21.

tion eft égale à LI : donc GL L.1.n.52. l'eft auffi a HI *: donc les trois côtez du triangle GHL font égaux aux trois côtez du triangle HLI;HL étant commun, & par conféquent tout le triangle S. n. 26. cft égal à tout le triangle *. C. Q..F. D.

28.

*

THEOREME IX. pl. 3. fig. 1. 2. Deux triangles ABC, EFG qui font équiangles & ont chacun côté AB, EF égal, font égaux en tout.

DEMONSTRATION.

Des extrémitezA&B des côtez égaux AB, EF, abbaiffezfur les côtez oppofés à ces extrémitez

*L.1.n. 39. les perpendiculaires AD,EH *; *L. 2.n. 31. je dis qu'elles font égales, étant les finus des angles ABC, E FG & des rayons égaux AB, EF,par la fuppofition; mais ces finus égaux, font auffi finus des angles ACB, EGF fuppofés

égaux: donc les rayons AC, EG font égaux*: mais les an- L. 2. n. 3 3. gles BAC, FEG, compris par les lignes égales AB, EF; A C, EG, font égaux, par la propofition: donc les triangles ABC, EFG font égaux en tout *. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

S. n. 27.

Deux triangles qui ont deux 29
angles égaux & un côté, font
égaux en tout; car ces trian-
gles ayant deux angles égaux,
font équiangles: par confé-
quent s'ils ont chacun côté égal,
ils font égaux en tout, par le
Théoreme précédent.

THEOREME X. pl. 3.fig. 3.
Deux lignes AB, CD fe cou 30
pant entre deux paralleles for-
ment deux triangles fembla-
bles.

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