droit d'un triangle rectangle, on mene à son hypotenuse BC une perpendiculaire AD, ce triangle sera divisé en deux autres triangles ABD, ADC, qui seront semblables entr'eux & au triangle total ABC.

DEMONSTRATION. Les angles BAC, ADC sont égaux,puisque celui-ci est droit, de mêine que celui-là , par la supposition ; l'angle ACDeft commun aux deux triangles B AC, ADC: donc le troisiéme DAC est égal au troisiéme A BC *: donc les deux triangles •S. n. 23. ABC, ADC sont semblables *:on démontrera de la même * S. n. 10, maniere que les deux triangles ABC ,ABD, font aussi semblables ; mais les deux criangles ABD, ADC étant semblables au triangle ABC, il est évident

qu'ils sont semblables entr'eu x Č. Q. F. D. THEOREMEVII.pl.2.fig.30.31.

Les deux triangles ABC, DEF font égaux en tout, si les trois côtez de l'un , sont égaux aux trois côtez de l'autre, chacun à chacun.

26.

.

DEMONSTRATION. Faites passer par les trois points A, B, C une circonférence,

aussi bien que par les points *L.1. 1.55. D,E,F.* Les trois côtez de ces

triangles sont égaux chacun à chacun,par la fupposition : donc les trois points A, B, C ont entr'eux la même distance que les trois points D, E,F: donc les circonférences qu'on a fait

passer par les uns & par les au*L. 7, 1.57. tres sont égales *: donc les arcs

soutenus par les côtez égaux , AC, DE, AB, EF, CB,

•$. n. 13:

DF sont égaux *: donc les an- •L. 1. n.23: gles des triangles ABC, DEF, mesurés par ces arcs, sont égaux *.donc ces triangles sont égaux •L.2. n. 25. en tout *. C. Q. F. D. THEOR.VIII.pl.z.fig.32.33.34.

Si deux triangles ABC, EFD 27. ont deux côtez AB, AC; EF, ED égaux, chacun à chacun & les angles BAC, FED,compris par ces côtez, aufli égaux, je dis que les deux triangles sont égaux en tout.

DEMONSTRATION. Que l'on imagine que les deux triangles ABC,EFD sontjoints, en sorte que les lignes AC, ED ne fassent qu'une, comme LH, &que les angles BAC, FED, que l'on a supposé égaux, foient alternes, comme GHL , ILH, Je dis que GH est parallele à LI * ; mais GH par la fuppofi-*L.2. 1.2 1.

tion est égale à LI : donc GL L.1.n.52. l'est aussi à HI *: donc les trois

côtez du triangle GHL font égaux aux trois côtez du trian gle HLI;HL étant commun, &

par conséquent tout le triangle .S. n. 26. cst égal à tout le triangle *. C.

Q.F.D.

THEOREME IX.pl. 3. fig. 1.2. 28. Deux triangles ABC, EFG

qui sont équiangles & ont chacun côté AB, EF égal, sont égaux en tout.

DEMONSTRATION. Des extrémitezA&B des côtez égaux AB, EF, abbaissez sur les

côtez opposés à ces extrémitez *L.I.M. 39. les perpendiculaires AD,EH*; *L. 291. 31. je dis qu'elles sont égales , étant

les sinus des angles ABC, E FG & des rayons égaux AB, EF, par la supposition; mais ces

finus égaux, sont ausli sinus des ..angles ACB, EGF supposés égaux : donc les rayons AC, EG sont égaux*: mais les an- L. 2. 1. 3 3. gles BAC, FEG, compris par les lignes égales AB, EF; A

; C, EG, sont égaux, par la proposition : donc les triangles ABC, EFG font égaux en

S. n. 27. tout *. C. Q. F.D.

COROLLAIRE. Deux triangles qui ont deux 29 angles égaux & un côté, font égaux en tout ; car ces triangles ayant deux angles égaux, , font équiangles : par conséquent s'ils ont chacun côté égal, ils font égaux en tout , par

le Théoreme précédent. THE ORE ME X. pl. 3. fig: 3.

Deux lignes AB, CD se cou“ 30 pant entre deux paralleles forment deux triangles sembla. bles.