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les AC, BD la partie commune CB, on aura AB égale à

que

• S. n. 2.

CD *; mais les côtez AE,*L. í. n. 4.
CF font égaux* aussi bien
les angles EAB, FCD *: L.2.n. 10.
donc les triangles ABE, CDF
font égaux *; defquels fi on re- *L. 3.n 27.
tranche le triangle commun

CGB il reftera deux trapezes

*

égaux ACGE, DBGF, aux- * L. 1. n. 5.
quels en ajoutant le triangle
GEF on aura le parallelogra-
me AF égal au parallelogra-
me DE *. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

L. 1. n. 4.

Les parallelogrames qui font 32. fur des bases égales & qui font de même hauteur, ou entre les mêmes paralleles, font égaux. Car être fur des bafes égales ou fur la même bafe, c'eft la même chose.

t

H

33.

THEOREME XII. pl.3. fig.26.

Si un parallelograme AB & un triangle BCE font entre les mêmes paralleles, ou de même hauteur, & fur la même bafe CB, je dis le parallelograme eft double du triangle.

DEMONSTRATION.

*L.2. n.22. Tirez à CE la parallele BF *. Les parallelogrames AB, CF

•S. n. 31. font égaux *; mais le triangle BCE eft moitié du parallelo

S. n. 20. grame CF*: donc il l'eft auffi de fon égal AB. &c. C. Q. F. D.

34.

COROLLAIRE I.

Les triangles qui étant fur la même base, ou ce qui eft la même chose fur des bafes égales, font entre les mêmes paralle les, ou de même hauteur,

font égaux. Car ces triangles font moitiez de chacun parallelograme de même bafe &

de même hauteur *, lefquels S. n. zz;

font égaux *.

COROLLAIRE II.

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Les parallelogrames qui étant 35. égaux, auffi bien que les triangles, font fur la même base, ou fur des bases égales, font ou peuvent être entre les mêmes paralleles ; & au contraire, ceux qui étant égaux, font entre les mêmes paralleles, ont même base ou des égales.

AVERTISSEMENT.

Les propofitions précédentes qui concernent l'égalité des parallelogrames, qui ont des bafes égales & font entre les mêmes paralleles, peuvent fe démontrer d'une autre maniere,

dont on dit que Cavalerius eft l'inventeur, & qu'on appelle la methode des indivifibles. En voici une idée.

36. Silon imagine donc que deux furfaces font remplies exactement par des lignes paralleles à leurs bafes, que ces paralleles font égales en nombre & en longueur, chacune à chacune; il eft clair que ces furfaces feront égales.

Soient par exemple pl. 3. fig. 27. les deux parallelogra mes AB, CD fur la même bafe CB & entre les deux paralleles AD, CB. Si l'on tire à CB autant de paralleles qu'il en faut pour remplir exactement le parallelograme AB, & qu'on prolonge toutes ces paralleles dans l'autre parallelograme CD, il est évident qu'il n'y en aura pas plus dans l'un que dans l'au

tre, (puifque la distance qui eft entre les paralleles AD, CB est par-tout égale) qu'elles feront toutes égales entr'elles, l'étant à la bafe CB, & par conféquent que les parallelogrames feront égaux.

On démontre à peu près de la même façon l'égalité des triangles qui ont même base, ou des égales, & font entre les mêmes paralleles. pl. 3. fig. 28. Car il eft évident 10. que les 37• triangles FBC, GDE, étant fuppofés entre les mêmes paralleles, dont la distance eft

par-tout égale,

contiennent

autant de lignes paralleles l'un que l'autre.

2o. Que ces paralleles font 38. égales chacune à chacune, puifqu'on peut les confidérer, comme lcs traces des bases égales BC, DE, qui s'élevant vers

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