les AC, BD la partie commune CB, on aura AB égale à CD * ; mais les côtez AE , *L. 1. n.4. CF sont égaux* aussi bien que •S. n. 2. les angles EAB, FCD *: •L.2.n. 20. donc les triangles ABE, CDF font égaux *; desquels si on re- *L. 3.0 27. tranche le triangle commun CGB il restera deux trapezes égaux * ACGE, DBGF, aux- * L. 1. n. su quels en ajoutant le triangle GEF on aura le parallelograme AF égal au parallelograme DE*. C. Q. F. D.

COROLLAIR E. Les parallelogrames qui sont? 32. sur des bases égales & qui sont de même hauteur, ou entre les mêmes paralleles, sont égaux. Car être sur des bases égales ou fur la même base, c'est la même chose.

*L. 1. n. 4:

THEOREME XII. pl.3. fig.26. 33.

Si un parallelograme AB & un triangle BCE sont entre les mêmes paralleles, ou de même hauteur, & sur la même bafe CB, je dis le parallelograme eft double du triangle.

DEMONSTRATION. *L.2. n.zz. Tirez à CE la parallele BF*.

Les parallelogrames AB, CF S. n. 31. sont égaux *; mais le triangle

BCE est moitié du parallelo. •S. n. 20. grame CF*: donc il l'est aussi

de son égal AB. &c. C. Q. F. D.

COROLLAIR E I. 34. Les triangles qui étant sur la

même base, ou ce qui est la mê me chose sur des bases égales, font entre les mêmes paralle. les, ou de même hauteur ,

• S. n. 31,

font égaux. Car ces triangles sont moitiez de chacun parallelograme de même bafe & de même hauteur *, lesquels • S. n. 33: font égaux *.

COROLLAIRE II. Les parallelogrames qui étant 35. égaux, aussi bien que les triangles , sont sur la même base, ou sur des bases égales, sont ou peuvent être entre les mêmes paralleles ; & au contraire, ceux qui étant égaux, sont entre les mêmes paralleles , ont même base ou des égales.

AVERTISSEMENT. Les propositions précédentes qui concernent l'égalité des parallelogrames, qui ont des bases égales & font entre les mêmes paralleles , peuvent se démontrer d'une autre maniere,

deux

و

dont on dit

que Cavalerius eft l'inventeur , & qu'on appelle la methode des indivisibles. En

voici une idée.
36. Si l'on imagine donc

que surfaces font remplies exactement par des lignes paralleles à leurs bases , que ces paralleles sont égales en nombre & en longueur , chacune à chacune ; il est clair que ces surfaces feront égales.

Soient par exemple pl. 3: fig. 27. les deux parallelogrames AB, CD sur la même bam se CB & entre les deux paralleles AD, CB. Si l'on tire à CB autant de paralleles qu'il en faut pour remplir exactement le parallelograme AB, & qu'on prolonge toutes ces paralleles dans l'autre parallelogrameCD, il est évident qu'il n'y en aura pas plus dans l'un que dans l'au

fre, ( puisque la distance qui est
entre les paralleles AD, CB est
par-tout égale ) qu'elles seront
toutes égales entr'elles , l’étant
à la base CB,& par conséquent
que les parallelogrames seront
égaux.

On démontre à peu près de
la même façon l'égalité des
triangles qui ont même base,
ou des égales, & sont entre les
mêmes paralleles.pl. 3. fig. 28.

Car il est évident 10. que les 37. triangles FBC, GDE, étant fupposés entre les mêmes paralleles, dont la distance est par-tout égale , contiennent autant de lignes paralleles l'un que l'autre.

2o. Que ces paralleles font 38. égales chacune à chacune, puisqu'on peut les considérer, comme lcs traces des bases égales BC, DE, qui s'élevant vers