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me raifon que ci-deffus, & par *S. n. 15. conféquent égal *; or les parallelogrames LR & BI font égaux au parallelograme AR:: donc le parallelograme BL eft auffi égal au parallelograme MC, & par conféquent à fon

• S. n. 31. égalBG *;ainfi les parallelogrames CF, BG étant égaux, l'un au parallelograme CP & l'au tre au parallelograme BI, c'eftà-dire, aux quatre parallelogra mesCI, HI, HI, & BI, il s'enfuit évidemment que le parali lelograme CE eft trop petit 2 d'un parallelograme HI, pour être égal aux parallelogrames CF, BG. C. Q. F. D.

DEMONSTRATION DU TROISIEME CAS. Lorfque le triangle ABC eft rectangle, ou que l angle A eft droit. pl 4. fig. 11.

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Les angles H & L étant

égaux à l'angle du fommet A, par fuppofition, font droits : ainfi les lignes AH, AL qui forment ces angles font perpendiculaires *,& ne font, par con- *L.2.n. 15. féquent, qu'une même ligne *:.L.I.n.43. donc le segment HL eft nul auffi-bien que le parallelograme HI: donc il n'y a aucune différence entre le parallelograme BD & les parallelogrames CF, BG; puifque, par la même méthode que ci-devant, on prouvera que ceux-ci font égaux à celui-là. C. Q. F. D. AUTRE DEMONSTRATION du même Théoreme. Memes figures 9. 10. & 11.

Premier cas. L'angle CLA, par fuppofition,eft égal à l'angle BAC; l'angle ACB eft commun aux deux triangles ABC, ALC: donc le troifiéme LAC

L.3.n.23.eft égal au troifiéme ABC *: donc ces deux triangles font L.3. n.10. femblables * & confequemment les parallelogrames LD, CF, fous leurs côtez alternes,

S. n. 26. font égaux *: par la même raifon le parallelograme EH eft égal au parallelograme BG; d'où il s'enfuit manifeftement, que le parallelograme BD eft plus grand,ou fi l'on veut,différe des deux parallelogrames BG, CF,du parallelogrameHI, qui est équiangle au parallelograme BD, & qui eft compris fous BC,ou LI font égale, & le fegment HL. C. Q. F. D.

Deuxiéme cas. Les triangles ABC, AHC étant femblables, par la même raison que ci-devant, les parallelogrames HD & CF fur leurs côtez alternes S. n. 26. font égaux *. De même à caufe des triangles femblables A

BC, ALB,les parallelogrames BI & GB font égaux; or les parallelogrames HD, BI contiennent quatre parallelogrames, fçavoir, CI, HI, HI, & BP: d'où il eft clair, que le parallelograme BD eft trop petit, pour être égal aux parallelogrames CF, BG, d'un parallelograme HI. C. Q. F.'D.

Troifiéme cas. A caufe des triangles femblables ABC, A LC, les parallelogrames LD, CF font égaux. De même à caufe des triangles femblables. ABC, AHB, le parallelograme HE eft égal au parallelograme BG; mais les angles H & L, étant égaux à l'angle A', par fuppofition, font droits ; ainfi les lignes AH, AL font pendiculaires*, & ne forment +L. 2.11.15. qu'une même ligne *: par con- *L.1.n. 43« féquent le fegment HL eft nul

per

47.

& ne forme aucun parallelograme avec LI: donc il n'y a nulle différence du parallelograme BD aux parallelogrames CF,BG, c'eft-à-dire, que ceuxci font égaux à celui-là. C. Q. F. D.

Il est évident que ce troifiéme cas ne différe nullement du feiziéme théorême de ce livre, c'est-à-dire, de la quarante-feptiéme propofition des Elemens d'Euclide.

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THEOREME XVIII.pl. 4.fig.12. Des trois Rectangles semblables, BD, BF, CE, décrits fur les trois côtez d'un triangle rectangle ABC, celui qui eft fur l'hypotenufe, eft égal aux deux autres pris ensemble.

DEMONSTRATION.

Du point A abbaiffez fur MD

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