me raison

que

ci-dessus, & par *S. n. 15. conséquent égal *; or les parallelogrames LR & BI fone

: éga ix au parallelograme AR;

donc le parallelograme BI S. 1.3.2"

est aulli égal au parallelograme

MC, & par conséquent à son . S. n. 31. égalBG *;ainsi les parallelogra*

mes CF, BG'étant égaux, ľun au parallelograme CH & l'aus tre au parallelograme BI, c'està-dire , aux quatre parallelogramesCI, HI, HI, & B1, il s'en

BI

BI fuit évidemment que le, paral

lelograme CE est trop petio ¢ 2 d’un parallelograme Hi , pour

être égal aux parallelogrames CF, BG. C. Q.F. D.

DEMONSTRATION DU TROISIEME CAs. Lorsque le triangle ABCeft rectangle, ou que l angle A eft droit. pl 4. fig. 11.

Les angles H & L étant

égaux à l'angle du sommet A, par fuppofition, font droits : ainfi les lignes AH, AL qui forment ces ang les sont perpendiculaires *,& ne font, par con--L.2.n. 15: séquent , qu’une même ligne *: *L.1.0.43.

* donc le segment HL est nul aussi-bien que le parallelograme HI: donc il n'y a aucune différence entre le parallelograme BD & les parallelogrames CF, BG ; puisque , par la même méthode que ci - devant, on

, prouvera que ceux-ci sont égaux à celui-là. C. Q. F. D.

AUTRE DEMONSTRATION du même Théorenie. Mémes figures 9. 10. 11.

Premier cas. L'angle CLA, par fuppofition,eft égal à l'angle BAC; l'angle ACB eftcommun aux deux triangles ABC, ALC: donc le troisiéme LAC

мііі)

L.3.n. 23. est égal au troisiéme ABC *:

donc ces deux triangles font •L.3. n.10, semblables *, & confequem

ment les parallelogrames LD,

CF, sous leurs cótez alternes, .S. n. 26. sont égaux *: par la même rai

fon le parallelograme EH est égal au parallelograme BG; d'où il s'ensuit manifestement que le parallelograme BD eft plus grand, ou si l'on veut,différe des deux parallelogrames BG, CF,du parallelogrameHI, qui est équiangle au parallelograme BD, & qui est compris sous BC,ou LI sont égale, & le segment HL. C. Q. F. D.

Deuxiéme cas. Les triangles ABC, AHC étant semblables, par la même raison que ci-devant,

les parallelogrames HD

& CF sur leurs côtez alternes S. n. 26. font égaux *. De même à cau

se des triangles semblables A

BC, ALB ,les parallelogrames BI & GB sont égaux; or les parallelogrames HD, BI contiennent quatre parallelogrames, sçavoir , CI , HI, HI, & BP: d'où il est clair, que le

parallelograme BD est trop petit, pour être égal aux parallelogrames CF, BG, d'un parallelograme HI. C. Q. F. D.

Troisiéme cas. A cause des triangles semblables ABC, A LC, les parallelogrames LD, CF sont égaux. De même à cause des triangles semblables. ABC, AHB, le parallelograme HE est égal au parallelograme BG; mais les angles H &L, étant égaux à l'angle A, par supposition, sont droits; ainsi les lignes AH, AL font perpendiculaires *, & ne forment +L. 2.9.15. qu’une même ligne *: par con-.l.1.0.43. séquent le segment HL eft nul

.

& ne forme aucun parallelograme avec LI : donc il n'y a nulle différence du parallelograme BD aux parallelogrames CF,BG, c'est-à-dire, que ceuxci sont égaux à celui-là. C. Q. F. D.

Il est évident que ce troisiéme cas ne différe nullementi du seiziéme théorème de ce livre, c'est-à-dire , de la qua. rante-septiéme proposition des Elemens d'Euclide.

THEOREME XVIII.pl. 4.fig.12., 47. Des trois Rectangles sembla

bles, BD, BF, CE, décrits sur les trois côtez d'un triangle rectangle ABC, celui qui est sur l'hypotenuse , est i égal aux deux autres pris ensemble.

DEMONSTRATION. Du point A abbaissez sur MD