la perpendiculaire AL *; tirez L.1.n. 39. BD & AI, prolongez AC & BC,en forte que CH foit égale à CD & CG à CI; menez GH. Les parallelogrames BD & CE étant fuppofés femblables, les triangles BCD, ACI le font auffi donc le rectangle fait S.n. 16:] de AC& CD, ou CH fon égale, est égal au rectangle fait de BC& CI,ou son égale CG: *donc les extrémitez des li- * S. n. 26. gnes AH & BG peuvent toucher la circonférence d'un cer

ole ABMHG *: donc les an- S. n. 286 gles BAG, CGH, qui ont pour mefure le même arc BMH,font égaux *; mais les angles ACB, L.2. n.25. GCH le font auffi *: donc les "L.2.n. 19. deux trianglesCGH,ABC font

équiangles ou femblables *; .L.3.m.237 mais celui-ciABCeftfemblable

au triangle ANC *: donc l'au- *L.3. n.25. tre CHG eft auffi femblable au

même ANC : donc le rectan gle ND, fait de NC & CH, ou CD fon égale, eft égal, au rectangle CE fait de AC & CG, * S. n. 26. ou CI son égale *. On démontrera de même, que les rectangles BL & BF font égaux, & conféquemment que le rectangle BD eft égal aux rectangles ČE. BF. C.Q.F. D.

48.

THEOREME XIX. pl. 5. fig. 1; Des trois figures femblables quelconques Z, X, Y, décrites & pofées de la même maniere fur les trois côtez d'un triangle rectangle ABC, celle qui eft fur l'hypotenuse BC eft égale aux deux autres prifes en femble.

DEMONSTRATION.

Qu'on réduife les trois figures femblables Z, X, Y, en

trois triangles BHG, AEC AFB *; par les points E, F, S. n. 420 H tirez à AC, AB & BC les paralleles indéfinies ED, FG, HI*; fur les extrémitez C & L.2.n. 28. B. des lignes AC, AB, BC, imaginez les perpendiculaires CD, CI, BG terminées par les paralleles ED, FG, HI; menez AD, AG & HI; par les points A & B tirez à CD, BG, CI, les paralleles AL, AM &

BN.*

*L.2.1. 22¿

S. n. 43

Maintenant, les triangles BH C, AEC, AFB, qui font égaux aux figures Z, X, Y, chacun à chacun, font femblables * mais les triangles rectangles BIC,ADC, AGB étant égaux, chacun à chacun, aux triangles BHC, AEC, AFB, font auffi égaux aux figures Z, X, Y, S. n. 41o & femblables entr'eux*: donc

leurs doubles, c'est-à-dire, les

rectangles BI, CL, BM font aussi semblables: donc celui qui eft fur l'hypotenuse eft égal aux *S. n. 47. deux autres:* donc fa moitié BIC, ou la figure Z fon égale, eft égale aux moitiés ADC, AGB, c'eft-à-dire, aux figures X & Y qui font leurs égales. C. Q.-F. D.

201

GA

REMARQUE.

Quoique les cercles, qui peuvent être confidérés comme des Poligones d'une infinité de côtez, fofent des figures femblables; cépendant on ne fçauroit, attendu cette infi nité de côtez, les réduire en triangles: ce qui n'empêche pas néanmoins, que le théorême précédent nei les comprenne; puifqu'il fuffit pour la démonftration d'une vérité, que l'efprit puiffe concevoir la

poffibilité d'un problême & par conféquent le fuppofer exécuté, quoique la main la plus adroite ne puiffe pas le prati

quer.

THEOREME XX. pl. 4. fig. 13.

La furface d'un poligone ré- 49 gulier eft égale à celle d'un triangle, dont la hauteur est égale à l'apothème AB, & la bafe au circuit de ce poligone.

DEMONSTRATION.

Ayant tiré du centre A des lignes à chaque angle du poligone, il fera divifé en autant de triangles qu'il a de côtez, tous égaux au triangle ACD, qui a CD pour base & pour hauteur l'apotheme AB; or un triangle qui a AB pour hauteur & pour base le circuit de ce poligone, eft égal à tous