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lement. C'est-à-dire, que AG, GB:: CF, FD.

DEMONSTRATION.

Par le principe précédent les deux parties AG, GB de la ligne AB font grandes à proportion des efpaces compris entre les lignes AC, EF, BD; c'està-dire, que fi l'espace compris entre AC & EF eft double,triple ou quadruple, &c. de l'ef pace compris entre EF & BD, la ligne AG eft double, triple ou quadruple, &c. de la ligneG B; par la même raifon CF eft double, triple ou quadruple de FD, ainfi AG contient GB.de la même maniere que CF contient FD, ce qui donne cette proportion AG. GB:: CF.F D. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I. pl. 5. fig. 4.

Si les côtez AB, AC d'un triangle quelconque ABC font coupés par une ligne DE rallele à la base BC, ils feront

pa

coupés
car fi l'on tire FG parallele à
DE,ou BC,on aura ÂD, DB::
AE, EC *.

proportionnellement ;

COROLLAIRE II.

4.

* 'S. n. 3:

Lorfque les côtez d'un trian- 5. gle font coupés proportionnellement, la ligne qui les coupe eft parallele à la bafe de ce triangle. C'est l'inverse du précédent.

THEOREME II. pl. 5. fig. 5.

Si un angle ABC d'un triangle quelconque eft divifé en deux également par une ligne BD,les parties AD,DC de la bafe AC,

font entr'elles comme les deux
autres côtez AB, BC, du trian-
gle ABC. C'est à-dire
AD, DC: AB, BC.

, que

DEMONSTRATION.

Par le point C tirez EC pa

*L.z.n.zz. rallele à BD *, prolongez AB jufqu'en E. Je dis que AD,

L'an

S.n.4. DC:: AB. BE *; mais BE eft égale à BC,attendu que le triangle CBE eft ifofcele: voici comment je le prouve. gle BEC eft égal à l'angle A *L.2.n. 20. ED *, ou a fon égal CBD*, le*par fuppofition. quel eft auffi égal à l'angle BC Ê *; mais deux chofes égales à une troifiéme font égales en tr'elles: donc les angles BCE, BEC font égaux; ainfi au lieu de dire comme nous avons dit ci-deffus AD. DC :: AB. BE, on peut mettre en la place de EE, fon égale BC, & dire AD.

*L.2.n.20.

DC:: AB. BC. C. Q. F. D.
THEOREME III. pl. 5. fig. 6.

Les triangles femblables A 6.
BC, CDE ont leurs côtez ho-
mologues proportionnels; c'est-
à-dire, par exemple, que BA.
CD:: BC. CE.

DEMONSTRATION.

Que ces triangles fe touchent en C,& foient fur une même ligne BE; prolongez BA & ED jufqu'à ce qu'elles fe rencontrent en F. Les angles BCA, CED font égaux*: donc ACeft paral- 1.3.n.10. lele à EF*: donc BA eft à AF, L.2.n.2 1. ou CD fon égale, comme BC à CE .* C. Q. F. D.

LEMME I. pl. s. fig. 7.

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S.n.4

Si deux lignes droites quel- 7. conques AC, BD, qui font entre deux paralleles AB, CD,

font coupées par une parallele
EF, la partie BF eft à la
tie AE comme FD à EC.

DEMONSTRATION.

par

Les lignes AC, BD ont un certain rapport entr'elles, c'està-dire, que l'une comme BD eft égale, double, triple ou quadruple,&c. de l'autre AC; par conféquent le tiers, le quart ou la moitié de BD, fera égal, double, triple ou quadruple, du tiers, du quart ou de la moiL.1.n. 8. tié de AC*; mais AE, EC,:: * S. n. 3. BF, FD *, c'est-à dire, que fi AE eft, par exemple,le quart de AC; BF eft auffi le quart de BD; or par ce que l'on vient de voir ci-deffus,fi la ligne BD eft double , par exemple, de AC, fon quartBF eft double de AE, quart de AC:donc on peut dire queBF.AE:: BD.A C; par

la

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