la mêmeraifon FD. EC:: BD. AC; mais deux raisons égales à une troifiéme font égales entr'elles*: donc BF. AE :: L.5.0.9 FD. EC. C. Q. F. D. THEOREME IV. pl. 5.fig, 8. Les triangles femblables A 8. BC, DCF ont leurs côtez qui comprennent des angles égaux proportionnels, c'eft-à-dire,que BA. BC:: CD. CE. DEMONSTRATION. Que ces deux triangles, fe touchant en. C; foient fur une même ligne BE; prolongez BA & ED jufqu'à ce qu'elles fe rencontrent en F, par le point B tirez BG qui foit parallele à EF. * Puifque ces deux triangles L.2. n.22. font femblables, l'angle BCA eft égal à langle CED: donc. CA eft parallele à EF*: donc L.z.n, 2 Jo Q • S. n.7. BA. BC:: AF ou CD,fon éga gale, eft à CE*: on démontrera de la même maniére que les autres côtez qui renferment des angles égaux dans les triangles femblables, font auffi proportionnels. C. Q. F. D. 9. 10. COROLLAIRE I. pl. 5.fig. 9. En tout triangle rectangle A BC, le côté AC eft au cóté C B, comme le finus total AD est à DE tangente de l'angle A;car par le Théorême précédent, les triangles ABC, AED étant femblables, AC. CB: AD. DE. COROLLAIRE II. pl. 5. fig. 9. En tout triangle rectangle A BC le côté AČ eft à l'hypotenufe AB, comme lefinus total AD eft à AE fécante de l'angle A; car à cause des triangles femblables AC. AB: : AD. AE. n THEOREME V. pl. 5. fig. 10. En tout triangle ABC les 11 côtez font en même raifon que les finus des angles qui leur font oppofés. DEMONSTRATION. La moitié de BC eft finus L.2. n. 34. de l'angle A*; AH, moitié de AB, eft celui de l'angle C, de même que AI moitié de AC l'eft de l'angle B, Il faut démontrer que AB. AC:: AH. AI. Tirez par le milieu de A B & AC, la droite HI. AH étant égale à HB & AIà IC; AH. HB AI, IC : donc H I eft parallele à BC*: donc les s.¤. §. angles H & I font égaux aux angles B & C *, & par confé-L.2.n. 20. quent le triangle AHI eit é quiangle & femblable au trian-` gle ABC*: donc AB. AC: "L.3.n.23. S. n. 8. AH. A I*. C. Q. F. D. 12. 13. * S. n. 8. 14. THEOREME VI. pl. 2. fig. 29. Si de l'angle droit d'un triangle rectangle on abbaiffe une perpendiculaire fur fa bafe," cette perpendiculaire divifera ce triangle en deux autres A BD, ADC, qui feront fembla bles entr'eux & au triangle total ABC. Cette propofition a été démontrée dans le livre troifiéme n°. 25. COROLLAIRE. 10. Il fuit de cette propofition que la perpendiculaire A D eft une moyenne propor. tionnelle entre BD, & DC; car T BD. AD. DC *. 20. Que BA eft une moyenne proportionnelle entre BC & S. n. 8. BD, puifque BC. BA.BD * 30. Que AC eft aut moyenne proportionnelle entre BC. & BD, attendu que BC. AC. DC *. THEOREME VII. pl. 5. fig. 11. Si d'un point A pris hors d'un cercle on lui mene une tangente AC & une fécante A B, la tangente AC fera moyenne proportionnelle entre la fécante AB & fa partie DA: c'eftà-dire = AB. AC. AD. DEMONSTRATION. 15: * S. n. &. 16. Tirez BC & CD. Les deux triangles ABC,ADCont un angle commun A;l'angle ACD a pour mesure la moitié de l'arc CD l'angle ABC lui eft égal, ayant pour mefure la moitié du même arc *: donc le troifiéme *L.2.n.24 ADC eft égal au troifiéme B L.2.n. 237 CA, & par conféquent ces L.3.n.23. * |