deux triangles font semblables: *L.2.n. 10. * donc AB. AC. AD *. C.

*S. n. 8.

17.

Q. F. D.

THEOREME. VIII. pl. 5. fig. 12.

Si deux cordes BC, DE fe coupent dans un cercle, leurs parties font en proportion; c'està-dire, que AB. AD :: AE. AC.

DEMONSTRATION.

Tirez BD & EC. Les an

L.2. n.rs.gles BAD,CAE font égaux *; les angles CBD, DEC, le font

"L.2.n. 25. auffi *,de même que les deux B *L.2.n.25. CE, EDB*: donc le triangle ADB eft femblable au triangle L.3.n. 10. AEC *: donc AB. AD: : AE, *S. n. 8. AC*. C. Q. F. D.

18.

THEOREME IX. pl. 5. fig.13.

Si d'un point quelconque A pris hors d'un cercle, on lui

mene deux fecantes AB, AC, elles feront coupées proportionnellement aux points E & D, c'est-à-dire, que AB. AD: :

AC. AE.

DEMONSTRATION.

Tirez CE & BD. Les deux triangles ABD, ACE font femblables;puifqu'ils ont l'angle A commun & les angles B & C égaux, de même que les L.2.1. 254 deux ADB, AEC: donc AB. AD:: AC. AE.C. Q. F. D. 'S. n. 8,

THEOREME X. pl. 5. fig. 14.

En tout triangle le plus grand 19 côté eft à la différence des deux autres côtez, comme la fomme de ces côtez est à la différence de ces fegmens du plus grand côtez, faits par la perpendiculaire qui tombe du plus grand angle.

DEMONSTRATION.

Du point A & de l'intervalle du plus petit côté AC décrivez une circonférence; du même point A abbaiffez la perpen•L.I. n. 39. diculaire AD * ; prolongez BA jufqu'en E. Il eft manifefte que BE eft égale à la fomme des côtez AB, AC, & que BF eft leur différence. Il eft auffi évident que, GC étant divifée en L.1.n.55. deux également au point D * BG eft la différence qu'il y a entre BD & DC; il s'agit donc de démontrer que le grand côté BC eft à BF différence des deux côtez AB, AC, comme BE fomme de ces côtez est à BG différence des fegmens BD, DC: ce qui eft évident par le théorême précédent. C. Q.

F. D.

THOER.

THEOREME XI. pl. 5. fig. 15.

En tout triangle scalene AB 20: C, la fomme des deux côtez AB, AC eft à leur différence, comme la tangente de la moitié des deux angles B & C, eft à la tangente de la moitié de la différence de ces deux mêmes angles.

DEMONSTRATION.

De l'angle A & de l'intervalle du plus petit côté AB décrivez la circonférence BDE, qui, coupant l'autre côté CA prolongé jufqu'en D, donnera CD égale à la fomme des côtez AB, AC, & CE leur dif férence; tirez BD, BE, & à B D la parallele EF; du point E décrivez l'arc BH & du point B, l'arc EG.

L'angle DAB eft égal à la

R

*L.3.n. 20.

*L.2.n.27.

*L.2. n.20.

fomme des angles ABC, ACB; * c'eft pourquoi l'angle DEB *L.2.n. 26. qui eft moitié de DAB*, est auffi la moitié des mêmes angles ABC, ACB, & parce que le triangle ABE eft isoscele l'angle ABE fera auffi moitié de la fomme des angles ABC, ACB, de plus l'angle DBE étant droit * l'angle BEF l'eft auffi *; ce qui fait que BD & EF font tangentes, l'une DB, de l'angle DEB égal à la moitié de la fomme des angles ABC,A CB&,l'autreEFde l'angleEBC, qui est égal à la moitié de la différence des mêmes angles ABC, ACB; car fi on l'ajoûte d'une part à l'angle ABE & de l'autre aux angles EBC ECB, on aura d'un côté l'angle ABC, & de l'autre ACB avec deux fois l'angle EBC,qui fera la différence de tout l'angle ABC à l'angle ACB,