& par conféquent il en eft moi-
tié. Il est aifé maintenant de
démontrer ce qui eft proposé;
car CD eft la fomme des deux
côtez, AB, AC, & CE en eft la
différence; DB eft tangente de
la moitié des angles ABC, A
CB, & EF eft tangente de la
moitié de leur difference; &
parce que les deux triangles
DCB, EFC font femblables,
on peut
dire que CD. EC ::
DB. EF. C. Q. F. D.

THEOREME XII. pl. 5.fig 16.

Les côtez des complémens 21. CD, EF d'un parallelograme quelconque AB, font

propor

tionnels, c'eft-à-dire, que CG. GF:: EG. GD.

DEMONSTRATION.

Le triangle ACG eft fembla ble au triangle GFB; car les

• S. n. 6.

angles ACG, CFB font égaux, L.2.n. 20.* auffi-bien que les deux AG L.2.n. 19. C, FGB*: donc CG. GF :: AG.GB*par la même raifon, EG. GD: AG. CB; mais puifque deux raifons égales à une troifiéme, font égales en

•L., n. 9. tr'elles *, il s'enfuit que CG. GF:: EG. GD. C. Q. F. D.

22.

COROLLAIRE, même figure. Cette propofition montre af fez évidemment que lorfque quatre lignes font proportionnelles, elles peuvent être confidérées, comme les côtez de deux complémens de parallelograme, dont l'un eft compris fous les deux extrémes, comme CD, & l'autre fous les moyennes, comme EF; mais comme les complémens de parallelograme font égaux, on peut dire lorfque quatre lignes font en proportion, que le

parallelograme compris fous les extrémes eft égal à celui qui eft compris fous les moyennes, pourvû que l'un & l'autre foient équiangles.

THEOR. XIII.pl.5.fig.17&18.

Les circuits de deux poligo- 23. nes réguliers & femblablesX & Y, font entr'eux en même rai

fon

que

leurs côtez BC, EF.

DEMONSTRATION.

Que ces poligones foient deux exagones; le circuit de X eft s'extuple de BC, de mê. me celui de Y eft s'extuple de EF; ce font donc ces deux côtez BC, EF qui déterminent la grandeur des circuits de ces poligones, c'eft-à-dire, que ces circuits dépendent de ces côtez: donc ils font en même raifon qu'eux. C.Q. F. D.

THEOR. XIV. pl.s.fig.17.18. 24. Les circuits de deux poligones réguliers & semblables font entr'eux,comme les rayons des cercles, dans lesquels ces poligones peuvent être infcrits. DEMONSTRATION. Soient X & Y deux poligo nes réguliers & femblables; foient AB, AC; DE, DF les rayons des cercles, dans lef quels ces poligones peuvent être infcrits. Les deux triangles ABC, DEF font ifofcel les, par la construction, & à caufe des figures semblables X & Y, les angles de leurs centres BAC, EDF font égaux, ainsi ces triangles font femblables: donc AB. DE:: CB. *S. n. 6. EF *; or le circuit de X eft à celui de Y, par le théorême précédent, comme CB à EF:

donc le circuit de X eft à celui de Y, comme le rayon AB de X eft au rayon DÉ de Y **L. 5. I. 9% CQ. F. D.

COROLLAIRE.

Les cercles pouvant être re- 25. gardés comme des poligones réguliers & femblables d'un nombre infini de côtez, leurs circonférencesfont entr'elles en même raifon que leurs rayons.

THEOREME XV. pl. 5. fig. 19. Le quarré AD, fait fur l'hy- 26. potenufe d'un triangle rectangle AEB, eft égal aux quarrez faits fur les deux autres côtez AE, EB.

DEMONSTRATION.

Du point E abbaissez sur C

D la perpendiculaire EH *. Le L. 1.n. 39. côté EB eft une moyenne pro