#S. n. 15.

S. n. 22.

portionnelle entre AB & FB* = donc AB, ou BDfon égale,eft à EB comme EB, à FB; mais le rectangle compris fous les extrémes eft égal au rectangle compris fous les moyennes *: donc le rectangle FD, qui eft fait des deux extrémes BD, F B, eft égal au quarré BG fait fur EB, qui, étant moyenne proportionnelle, fert de deux termes moyens. On démontrera de la même maniére que le quarré fait fur EA eft égal au rectangle FC: donc &c. C. Q.F. D.

THEOREME XIV. pl. s. fig. 20.

Si deux cordes AB, CD fe 27. coupent dans un cercle, le rectangle fait des deux parties de l'une, eft égal au rectangle fait des deux parties de l'autre c'eft-à-dire, que le rectangle fait

des parties AE, EB est égal au rectangle fait de CE & ED.

DEMONSTRATION.

On a démontré que EA, E D :: EC. EB *; mais lorsque* S. n. 17. quatre lignes font en proportion, le rectangle fait des extrémes eft égal au rectangle fait des moyennes *: donc le rec- S. n. 22, tangle compris fous AE, EB eft égal au rectangle compris fous ED, EC. C. Q. F. D. THEOREME XV.pl. 5. fig. 21. Si deux lignes AB, AC font 28. tirées d'un point A, pris hors le cercle jufqu'aux points C & B de fa circonférence concave, le rectangle fait de la toute AC & de fa partie DA eft égal au rectangle fait de la tou te AB & de fa partie EA.

DEMONSTRATION.

Puifque AC. EA:: AB. D

5.n. 18. A*, le rectangle compris fous AC & DA eft égal au rectanS. n. 22. gle compris fous EA & AB *, C. Q. F. D.

29.

AVERTISSEMENT.

Les trois propofitions précé dentes ont déja été démontrées, mais par une autre voye, dans le livre quatrième. n°. 27. 30. & 45.

LEMME pl. 5. fig. 22. Lorfque deux lignes quel conques CD. DB font les côtez d'un rectangle A,fi l'on fuppofe, par exemple, CD long de quatre pieds, BD de trois & que l'on imagine un quarré décrit fur chacun de ces pieds, comme E, F, G, H, I, L;

il s'enfuit néceffairement qu'en multipliant le nombre des pieds de CD 4 par celui de BD 3, ou ce qui eft la même chose, le nombre 4 des quarrez imaginés fur CD,par le nombre 3 de ceux pareillement imaginés fur BD, que leur produit déterminera la grandeur de la superficie du rectangle A ; c'està-dire, la quantité, qu'il contient de ces petits quarrez ou pieds quarrez. Car la multiplication n'étant autre chofe, qu'ajouter une grandeur à elle-même autant de fois qu'il y a d'unitez dans fon multiplicateur, il eft évident que la ligne CD contenant 4 pieds ou 4 quarrez, & BD 3, qu'en multipliant CD 4 par BD 3, ou bien ajoutant CD 4 trois fois à lui-même, on aura 12 quar. rez ou pieds quarrez pour la

€ 30.

fuperficie du rectangle A: THEOREME XVI. pl. 6.fig. 1.2.

Les rectangles AF, CH de même hauteur font entr'eux comme leurs bases EF, GH.

DEFINITION V.

le rectan

La grandeur des rectangles AF, CH dépendant de la longueur de leurs côtez AE, EF; ↑ S. n. 29. CG, GH *, il est évident que fi leurs hauteurs font égales & que la bafe GH foit plus petite que la bafe EF, que gle CH eft plus petit que le rectangle AF, & qu'il fera d'autant plus petit que la base GH fera plus petite que la base EF; c'eft-à-dire, que fi la bafe de l'un n'eft que le tiers de la base de l'autre, le rectangle fait fur cette base n'eft auffi que le tiers de l'autre. C. Q. F. D.