१०.

31.

COROLLAIRE.

Tout cone droit pouvant être confidéré comme une pyramide d'une infinité de côtez, on peut lui appliquer ce qui vient d'être dit de la pyramide; c'est-à-dire, que fa furface eft égale à un triangle dont la bafe eft égale au circuit de la bafe du cone, & dont la hauteur eft égale au côté du

cone.

REMARQUE.

On voit par ce qui vient d'être dit, qu'on peut appliquer aux furfaces des prifmes comparées l'une à l'autre, & à celles des cylindres, tout ce qui a été démontré de la raifon qu'ont entr'eux les parallelode même on peut appliquer aux furfaces des pyra

grames:

mides & des cones, ce qui a été dit du rapport qu'ont entr'eux les triangles.

THEOREME IV. pl. 6. fig.28.

La furface d'une fphere A 32. BCD, eft égale à un rectangle dont la hauteur est égale au diametre AC de la sphere, & dont la base est égale au circuit du plus grand cercle ABCD de cette même sphere.

PREPARATION.

Que l'on fuppofe fur la furface de cette fphere les deux cercles MLFP, BODN, dont FH, DI foient les rayons perpendiculaires à l'axe AC; que l'on tire EF rayon de la sphere, ou du cercle ABCD, & à I D la perpendiculaire FG *, L... 39o qui fera égale à HI *. Il est L. x.n. 48. évident que toute la furface de

cette fphere peut être conçuë couverte de bandes fphériques, telles que celle qui eft comprife entre les cercles ML F, BOD, dont la largeur FD peut être fuppofée indéfiniment étroite & regardée, par conféquent, comme une petite ligne droite & comme une partie de la tangente au point F, qui eft toujours per•L.I.n.61.pendiculaire au rayon EF * cela fuppofé.

DEMONSTRATION.

: Les angles EFD, HFG font droits, fi l'on en ôte l'angle commun EFG, les reftans G FD, HFE feront égaux ; or les angles FGD, EHF étant droits font auffi égaux: donc les triangles EHF, FGD font *L.3.n. 23. équiangles & femblables: par conféquent HF. FE:: FG;

FG, ou HI son égale, à FD' * mais le circuit MLFP eft *L.6.n.8. au circuit ABCD:: HF eft

à EF*, ou comme HI à F.L.6. n.25. D: donc le rectangle compris fous MLFP & FD eft égal au rectangle fait de ABCD & de HI*: donc fi l'on ap- "L.6.n. 22. plique ce qui vient d'être dit, à toutes les bandes fpheriques qui compofent la furface de la fphere ABCD, on trouvera à la fin que cette furface eft égale à un rectangle, dont la hauteur eft égale au diametre AC. & dont fa bafe est égale au circuit du plus grand cercle ABCD de la fphere..C. Q. F. D.

THEOREME V.pl.s.fig 23.& 24

La furface d'une sphere M eft égale à celle d'un cylindre L, dont la hauteur EF eft éga

33

le à l'axe AC, & dont le cir cuit FGHI de fa base est égal à la plus grande circonférence ABCD de la sphere M.

DEMONSTRATION. L'axe AC, par la fuppofi tion, eft égal à la hauteur EF, auffi-bien que la circonférence ABCD, à la circonférence FGHI: donc le rectangle fait de l'axe AC & de la circonférence ABCD, eft égale au rectangle fait de EF & de F

L.6. n. 34. GHI *; mais le premier de ces rectangles eft égal à la fur

*S. n. 32 face de la fphere M *, & le fecond à la furface du cylin

S. n. 26. dre L*: donc, &c. C. Q. F. D.

34.

THEOREME VI.

La furface d'une sphere eft égale à quatre fois celle de fon