EXEMPLE.

Fig. 5. Soit le triangle rectangle ABC, dont le côté A B soit de 6 pieds, & le côté BC de 12 pieds: comme ses côtés comprennent l'angle droit ABC, il faut multiplier BC par AB, ou 12 pieds par 6 pieds, comme si l'on vouloit mesurer le parallélogramme ABCD:on aura au produit 72 pieds pour la superficie du parallélogramme, dont la moitié 36 pieds sera la fuperficie du triangle rectangle demandé, ou une toife.

Il en sera de même, si on multiplie le côté BC 12 pieds, par la moitié du côté BA, 6 pieds, qui est 3 pieds; on aura également au produit 36 pieds ou une toise.

PROPOSITION I V.

Mesurer la superficie de toutes fortes de Triangles rectilignes.

De même que les triangles rectangles sont la moitié d'un quarré ou d'un rectangle, tous ces autres triangles font la moitié des mêmes figures, dans lesquelles on peut supposer que ces triangles sont infcrits; ce qui fera facile de concevoir, si l'on suppose le triangle irrégulier ABC, Figure 6, inscrit dans le rectangle EDCA; car fi du sommet B du triangle ABC on abaisse la perpendiculaire BF, le triangle sera divisé en deux autres triangles, égaux aux deux triangles de complément AEB & CBD, qui composent ensemble le rectangle EDAC; car le triangle AFB sera égal au triangle AEB, & le triangle CFB sera égal au triangle CDB: donc, dans tous triangles rectilignes de quelques especes qu'ils puissent être, si l'on abaisse une per

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pendiculaire de l'un des angles sur le côté oppofé à cet angle, & qu'on multiplie à côté par la perpendiculaire, la moitié du produit sera la superficie demandée; ou, fi l'on veut multiplier une de ces deux lignes par la moitié de l'autre, on aura la même chose.

S'il arrivoit qu'un des angles de la base du triangle soit obtus, il faudroit abaisser la perpendiculaire fur la base prolongée.

EXEMPLE.

Soit le côté AC de 9 pieds, & la perpendiculaire BF de 6. pieds ; si l'on multiplie AC par BF, ou 9 pieds par 6 pieds, on aura 54 pieds, dont la moitié est 27 pour la fuperficie du triangle BAC; ou, si l'on multiplie 9 par 3, moitié de 6, on aura la même superficie ou o toise, 9 pieds.

,

Mefurer la fuperficie des Triangles par la connoissance de leurs côtés.

Il faut ajouter les trois côtés ensemble de la moitié de leurs fommes, en soustraire chaque côté séparément; si l'on multiplie de suite cette moitié par les trois restes, la racine quarrée du produit total sera la superficie du triangle proposé.

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:

EXEMPLE.

Fig. 7. Soit le triangle ABC; que le côté BC foit de 13 pieds, le côté BA 14 pieds, & le côté AC 15 pieds: fi on ajoute ensemble ces trois côtés, leur somme

:

somme sera 42 pieds, dont la moitié est 21 : de cette moitié, si l'on ôte séparément les trois côtés du triangle, c'est-à-dire 13, 14, 15; il restera 8,7,6: il faut multiplier premierement 21 par 8, premier reste; on aura au produit 168 pieds, qu'il faut ensuite multiplier par 7, second reste; on aura au produit 1176 pieds, qu'il faut encore multiplier par 6, troisieme reste; le produit sera 7056 pieds, dont la racine quarrée 84 pieds, sera la fuperficie demandée, ou 2 toises, 0, 12 pieds.

Il peut arriver que la somme des trois côtés d'un triangle n'ait pas sa moitié juste ; alors, pour ne rien perdre, il faut doubler tous les côtés; & on aura une fuperficie quadruple de celle qu'on cherche, dont il faudra prendre le quart.

,

Si on est obligé de tiercer la superficie sera neuf fois plus grande, & on prendra le neuvieme.

Cette proposition épargne beaucoup d'opération dans la pratique, fur-tout en arpentage, lorsque, par la grandeur du triangle ou autre empêchement, on ne peut abaisser de perpendiculaire : cette opération est une des plus belles applications de la racine quarrée, & devient effentielle dans bien des cas.

PROPOSITION VI.

Mefurer la fuperficie d'un Trapeze rectangle.

Soit le trapeze rectangle ABCD, que le côté AC foit de 7 pieds, & le côté BD de 9 pieds; il faut ajouter ensemble les deux côtés AC & BD; leur fomme sera 16 pieds, dont la moitié est 8 pieds, qu'il faut multiplier par le côté CD, qui a 10 pieds; on aura au

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produit 80 pieds pour la superficie du trapeze rectangle demandé, ou 2 toises, 0, 8 pieds.

PROPOSITION VIL

Mesurer la fuperficie d'un Trapeze isocele.

Le trapeze isocele est celui qui a deux côtés paralleles, & les angles sur les mêmes côtés égaux ; il se mesure en ajoutant ensemble les deux côtés paralleles, & multipliant la moitié de leur somme par la perpendiculaire, abaissée de l'un des angles égaux fur le côté oppofé.

EXEMPLE.

Soit le trapeze isocele ABCD, dont le côté AB est parallele à CD; celui de CD, de 10 pieds ; & celui AB, de 6 pieds : la moitié de leur somme est 8 pieds, qu'il faut multiplier par la perpendiculaire A E 7 pieds; le produit sera 56 pieds pour la superficie demandée, ou I toise, 2 pieds.

PROPOSITION VIII.

Mesurer la fuperficie d'un Trapeze irrégulier.

Le trapeze irrégulier se mesure par triangle, comme le trapeze ABCD, qui n'a aucun de ses côtés paralleles, ni égaux; il faut diviser ce trapeze en deux triangles par la diagonale CB des angles opposés A & D; abaisser sur la diagonale les perpendiculaires AE & DF, & mesurer ces deux triangles CAB & CDB féparément par la méthode indiquée ci-devant; la somme des deux superficies donnera la superficie du trapeze irrégulier demandé.

PROPOSITION IX.

Mesurer la fuperficie d'un Polygone régulier.

Il faut connoître l'un des côtés ou base d'un des triangles du polygone & sa diametrale ou perpendiculaire au centre qui tombe sur ce même côté : multiplier cette base par la moitié de la perpendiculaire, pour avoir la superficie d'un des triangles du polygone, qu'il faut multiplier par le même nombre de triangles, dont le polygone régulier est composé; on aura la superficie du polygone.

Donc, fi l'on connoiffsoit la perpendiculaire d'un des triangles du polygone régulier, il ne seroit pas plus difficile à mesurer que si c'étoit un triangle indépendant des polygones, & dont on connoîtroit la perpendiculaire; mais les opérations qu'on feroit obligé de faire , pour trouver scrupuleusement cette perpendiculaire qui doit réfoudre la superficie totale du polygone régulier, seroient trop compliquées pour les Praticiens : c'est pour éviter ce travail qu'on a cherché le rapport le plus approché de la base de chacun des triangles des polygones réguliers, à commencer par le pentagone polygone à cinq côtés, & conféquemment cinq triangles, jufques & compris le dodécagone ou polygone à douze côtés & douze triangles; de maniere que, moyennant une regle de proportion, on aura les perpendiculaires defirées; la multiplication de la base d'un des