De la Racine quarrée.

On appelle racine quarrée, à l'égard d'un nombre entier, un nombre plus petit, qui étant multiplié par lui - même produit ce nombre entier qu'on nomme quarré, parce qu'il représente la superficie d'un quarré, dont le plus petit nombre est le còté.

,

EXEMPLE.

On connoît que le nombre 36 est un quarré, c'està-dire un nombre quarré, parce qu'il est égal au nombre des mesures quarrées ; ainsi les toises quarrées qui font contenues dans la fuperficie du quarré A BCD, Fig. 6, dont le côté est 6 toises courantes, représentent une toise quarrée: donc 6 est la racine quarrée de 36, parce que 36 en tire fon origine, étant produit par la multiplication de fa racine quarrée 6 par elle-même; c'est-à-dire, 6 multipliés par 6, donnent au produit 36, superficie du quarré ci-dessus. Voyez la Figure 6, Planche LXX.

, parce que

Par cette opération, on conçoit que 64 est un nombre quarré, & que fa racine quarrée est 8 8 multipliés par 8, donnent au produit 64, & que de même 49 est un nombre quarré, & que fa racine quarrée eft 7, parce que 7 multiplié par 7, produit 49; ainsi des autres.

Tout nombre entier est la racine quarrée d'un nombre plus grand, parce que ce nombre entier peut être multiplié par lui - même lequel est appellé, dans ce cas, quarré parfait, parce qu'il a sa racine quarrée juste.

,

Tout

Tout nombre n'est pas quarré d'un autre ; c'est-àdire que tout nombre n'a pas toujours exactement sa racine quarrée: alors ce quarré est appellé imparfait, parce qu'il représente la surface d'un quarré long, comme 18 : on est certain qu'il n'y a point de nombre, soit en entier ou en fractions qui, multiplié par luimême, produit 18: donc on dira que 18 n'a pas une racine quarrée juste, & que fa racine quarrée, la plus approchée, est 4, parce que 4 multiplié par 4, produit 16, qui est moindre que 18. Voilà ce qu'on doit observer dans la pratique, pour trouver la racine quarrée d'un nombre proposé.

,

Ce nombre doit être composé de plus de deux chiffres; car, pour les nombres qui n'en ont qu'un ou deux, il n'y a personne, pour peu qu'on ait d'usage, qui ne connoisse la racine quarrée de ce nombre ou fa plus proche; on sçait naturellement que la racine quarrée de 25 est 5, que celle de 28 est aussi 5, & le reste 3. Comme une méthode pour tirer la racine quarrée d'un nombre exprimé par un ou deux chiffres, seroit superflue, on se contente de donner une table qui renferme les neuf nombres quarrés, qui n'ont qu'un ou deux chiffres: avec les racines de ces nombres au-dessus; on y joint le quarré 100, qui est le plus petit des quarrés exprimés par plus de deux chiffres avec sa racine 10 au-dessus.

7 8 9 10 916 25 36 49 64|81|100

I 2

3

4

Lorsqu'on ne connoît pas la racine quarrée d'un

H

nombre exprimé par un ou deux chiffres, on cherchera ce nombre dans la bande des quarrés de cette table; fi on l'y trouve, le nombre qu'on verra au-dessus dans la bande des racines, sera exactement la racine quarrée de ce nombre ; mais si le nombre propose ne se trouve pas dans la bande des quarrés, on prendra le quarré plus petit, qui en approchera le plus; & le nombre qu'on trouvera au-dessus du quarré, sera la racine quarrée du plus grand quarré contenu dans le nombre propofé.

Par exemple, si l'on demande la racine quarrée du nombre 72, qu'on ne trouve point dans la bande des quarrés, on prendra dans cette bande 64, qui est un quarré plus petit que le nombre proposé 72, & qui enapproche le plus; & l'on trouvera au-dessus de ce quarré le nombre 8, qui sera la racine quarrée du plus grand quarré contenu dans le nombre proposé 72.

Lorsqu'on dit qu'un nombre eft le plus grand quarré, contenu dans le nombre proposé, l'on entend que c'est le plus grand quarré exprimé par un nombre entier ; & l'on ne prétend pas parler du plus grand quarré qui peut avoir une fraction à fa racine quarrée.

La racine quarrée d'un nombre, qui n'est point un quarré parfait, s'appelle un nombre (fourd), (ou irrationnel), ou (incommensurable).

Venons aux nombres qui ont plus de deux chiffres : c'est en observant ce qui se passe dans la formation du quarré, qu'on trouvera la méthode qu'on doit fsuivre pour revenir à la racine, pour quarrer un nombre tel que 54.

Après avoir écrit le multiplicande & le multiplicateur, on multipliera, comme à l'ordinaire, le 4 supérieur par le 4 inférieur; ce qui fait évidemment le (quarré des unités).

Multipliant ensuite le 5 supérieur, par le 4 inférieur, on aura le produit des dixaines par les unités.

Passant ensuite au second chiffre du multiplicateur, & multipliant le 4 supérieur par le 5 inférieur, on aura le produit des unités par les dixaines ou (le produit des dixaines par les unités).

,

Enfin multipliant le 5 supérieur par le 5 inférieur on aura le quart des dixaines.

On ajoute ces produits, & on a pour quarré le nombre 2916, qui est composé du quarré des dixaines, plus, deux fois le produit des dixaines par les unités, plus le quarré des unités.

Ce qu'on vient d'observer étant une conféquence immédiate des regles de la multiplication, n'est pas plus particulier au nombre 54 qu'à tout autre nombre composé de dixaines & d'unités ; enforte qu'on peut dire généralement que le quarré de tout nombre composé de dixaines & d'unités, renfermera les trois parties ci-devant énoncées ; sçavoir, le quarré des dixaines de ce nombre,

,

deux fois le produit des dixaines par les unités, & le quarré des unités.

Cela posé, comme le quarré des dixaines est des centaines, puisque 10 fois 10 font 100 : il est visible que ce quarré des dixaines ne peut faire partie des deux derniers chiffres du quarré total.

Pareillement le produit du. double des dixaines multipliées par les unités, étant nécessairement des dixaines, ne peut faire partie du dernier chiffre du quarré total : donc pour revenir du quarré 2916 à sa racine, on peut raisonner ainsi :

,

Il faut commencer par trouver les dixaines de cette racine ; or la formation du quarré apprend qu'il ya dans 2916 le quarré de ces dixaines, & que ce quarré ne peut faire partie des deux derniers chiffres : il est donc dans 29 ; & comme la racine quarrée de 29 ne peut être plus de 5, on conclura que le nombre des dixaines de la racine est 5, qu'on portera à côté de 2916, comme on le voit ci-dessus.

On quarrera 5, & on retranchera le produit 25 de 29; il restera 4, à côté duquel on descendra les deux autres chiffres 16 du nombre proposé 2916.

Pour trouver maintenant les unités de la racine,

on