s'élevera de 10 perches moins 3, & il ira en D. Dans la troifieme Seconde, il s'élevera de 10 perches moins & il ira en C. Dans la quatrieme Seconde, il s'élevera de 10 perches moins 7, & il ira en B. Dans la cinquieme Seconde, il s'élevera de 10 perches moins 9, & il ira en A.

Dans la fixieme Seconde, le Mobile devroit s'élever de 10 perches moins 11. Ainfi, au lieu de monter, il defcendra d'une perche, en S; enfuite de trois perches, en T; enfuite de 5, de 7, de 9 perches, en V, en Y, en Z: comme nous l'avons expliqué & démontré dans la premiere Propofition précédente.

Cette double Courbure est toujours & par-tout parabolique parce que la Force horisontale, toujours conftante & uniforme, porte & retient fucceffivement le Mobile à l'extrêmité d'une infinité d'Ordonnées dont les quarrés font toujours entre eux, comme les Abfciffes correfpondantes.

II°. Si le Mobile commençoit à fe mouvoir avec un Mouvement vertical plus grand ou plus petit, que celui que nous lui avons fuppofé: ce Mobile arriveroit en plus ou en moins de tems, à fa plus grande élévation : l'axe AP de fa Courbe, feroit ou plus loin ou plus près du point de projection F.

Mais les quarrés des Ordonnées à cet axe, feroient toujours comme les Abfciffes correspondantes; & le Mobile, toujours voituré par les deux Forces qui l'animent, décriroit toujours une ligne parabolique, en montant & en defcendant.

Donc les Graves lancés de bas en haut, dans une direction oblique à l'horison, décrivent une double Parabole. C. Q. F. D.

385. REMARQUE. La Parabole eft une Courbe qui ne revient point fur elle-même, comme le Cercle: puifque, depuis fon fommet A, elle va en s'écartant toujours

toujours uniformément à l'infini de fon axe A P.

Dans la théorie du Jet des Bombes, on nomme amplitude du Jet, ou amplitude de la Parabole, la ligne horifontal FPZ, interceptée entre le point d'où part & le point où tombe le Mobile. L'expérience & la théorie démontrent conjointement que l'amplitude du Jet, eft la plus grande qu'il foit poffible fous la même Force impulfive : quand la direction du Mortier ou du Canon qui lancent le Mobile, fait un Angle de 45 degrés, avec l'horifon ; & que la moitié de cette amplitude, eft égale à la hauteur verticale où s'éleveroit le Mobile jetté perpendiculairement vers le zénith. Quand la direction du Mortier, fait un angle plus grand ou plus petit: l'amplitude du Jet ou de la Parabole, diminue. (Mat. 743). PROBLEME

I.

386. Etant donné le Tems qui s'eft écoulé depuis la projection d'un Grave, jufqu'à fa chûte: déterminer à quelle hauteur il s'eft élevé. (Fig. 32)..

SOLUTION. Soit une Bombe, ou un Boulet, ou une Balle, lancés de bas en haut, dans une direction perpendiculaire ou oblique à l'horifon.

Que depuis l'inftant de l'éruption de la Poudre enflammée, jufqu'à l'inftant où le Mobile F arrive à la fin de fa chute dans le même horifon d'où il étoit parti, il fe foit écoulé 20 Secondes.

1o. Les Graves font retardés en montant, précisément comme ils font accélérés en defcendant. (376). Donc le Mobile aura employé dix fecondes à monter, & dix fecondes à defcendre. Le point d'où il commence à defcendre, eft fa plus grande hauteur.

II°. Les efpaces parcourus par un Grave qui defcend, font comme les quarrés des tems (371); & les Graves qui tombent librement, dans une direction Tome I.

Ff

oblique ou perpendiculaire à l'horifon, s'approchent du centre de la Terre, en vertu de leur Gravité, d'une Perche angloife, dans la premiere Seconde de leur chûte.

Donc au bout de dix Secondes, le Mobile, en defcendant perpendiculairement ou oblíquement à l'horifon, fe fera approché du centre de la Terre, d'un nombre de Perches angloifes qui fera exprimé par le quarré de 10, lequel eft 100. Donc le Mobile eft tombé d'une hauteur de cent perches angloifes; & telle eft la hauteur où il s'étoit élevé.

On fait ici abstraction de la réfifiance de l'Air, laquelle occafionne quelque retardement au Mobile, & quil faudroit retrancher à la hauteur trouvée. Nous avons fuffifamment fait voir ailleurs, comment on peut évaluer à-peu-près cette réfiftance de l'air.(378).

III°. Si depuis l'inftant de l'inflammation de la Poudre, jufqu'au dernier inftant de la chûte du Mobile, on comptoit plus ou moins de Secondes, que dans l'exemple que nous venons de citer : la moitié de ce tems eft employé par le Mobile à monter, & l'autre moitié à defcendre.

Soit ce Tems, égal à 15 Secondes: la chûte du Mobile aura duré fept Secondes & demie, dont il faut trouver le quarré.

Le quarré de 7, plus la moitié de la différence entre les quarrés de 7 & de 8, moins les trois quarts d'une Perche angloise qui auroient été l'accélération propre de la demi-feconde (372), exprimeront la hauteur cherchée: qui sera 49+7 +÷—÷=56+÷ Perches angloifes.

387. REMARQUE I. Quand nous difons que les efpaces parcourus par le Mobile à la fin de chaque tems, font comme les quarrés des tems : nous n'entendons parler que des espaces parcourus verticalement.

i

Un Mobile qui tombe obliquement à l'horison, en vertu d'une force horisontale & d'une force centrale, parcourt plus d'efpace que s'il tomboit perpendicu lairement en vertu de fa feule gravité parce qu'il eft animé de deux Forces confpirantes qui produifent chacune en plein fon effet, en le conduifant par une Diagonale plus longue qu'un des deux côtés. (348).

Mais l'Espace vertical, dont il eft ici question, eft toujours comme le quarré des tems: foit que le Mobile tombe perpendiculairement, foit qu'il tombe obli quement, de la plus grande élévation où l'a porté la Force projectile.

388. REMARQUE II. Quoique les Espaces verticaux que parcourt un Grave qui tombe librement, foient, à la fin de chaque tems, comme les quarrés des tems; la Percuffion de ce Grave, ne fe fait qu'en vertu de la der niere Vitelle qu'il a acquife à l'inflant où il frappe: parce que les vîteffes qui précedent la Percuffion, font étrargeres & indifférentes à la vîteffe qui fait la percuffion. Ces Viteffes précédentes ne doivent donc être comptées pour rien, dans la quantité ou dans la force de la percuffion. (Fig. 25).

Or, les dernieres Vi effes acquifes à la fin dè la premiere, de la deuxieme, de la troisieme Seconde, & ainfi de fuite, ne font point comme les quarrés des tems, mais fimplement comme les tems: puifque les lignes BC, DG, HM, qui expriment les dernieres Viteffes de ces trois Secondes, font entre elles comme les Nombres 1, 2, 3.

Donc la Force impulfive de ce Grave, force proportionnelle au produit de fa maffe par fa viteffe, doit être eftimée, au bout de chaque tems égal de fa chûte; en multipliant fa maffe par les tems: puifque ces tem; font l'expreffion de fes dernieres vîteffes, qui feules influent dans la percuffion.

PROBLEME 11.

389. Etant donnés la maffe d'un Mobile qui tombe fucceffivement de différentes hauteurs, & le tems qu'il enploie chaque fois à tomber : déterminer la force de la Percuffion à chaque chûte. (Fig. 32.

SOLUTION. Soit le Mobile F,une Bombe pefant 200 ilvres. Que cette Bombe tombe perpendiculairement ou obliquement fur une Surface horisontale, contre la quelle nous fuppofons que la percuffion doit fe faire; la chofe eft fort indifférente: puifque la Percuffion contre une furface horisontale, ne fe fait que par le mouvement vertical; & que le mouvement horifontal que pourroit avoir cette Bombe dans fa chûte oblibue, n'influe pour rien dans la percuffion dont il eft ici queftion (354). Comparons entre elles plufieurs chûtes de cette Bombe.

1°. Que dans la premiere Chûte, depuis l'inftant de l'inflammation de la poudre, jusqu'à l'inftant de la percuffion, il y ait dix fecondes. La chûte aura duré s fecondes; & la derniere Vitesse, qui fait la Percuffion, & qui eft proportionnelle au tems employé à tomber (388), fera 5.

La Force motrice étant le produit de la maffe par la viteffe: la percuffion de cette Bombe, fera 200`x

5

1000.

II°. Que dans la feconde Chûte, depuis le départ jufqu'à la percuffion, il y ait 18 Secondes. La chûte aura duré 9 fecondes; & la derniere Viteffe fera =9. La pércuffion de cette Bombe, fera 200 X 9-1800.

III. On trouvera toujours de même la Force motrice de cette Bombe, dans fes différentes chûtes d'une hauteur quelconque : en prenant pour multiplicateur de la maffe, le nombre des Secondes emp'oyées à tomber, lequel exprime toujours les derniers Viteffes du Mobilo.