22. COROLLAIRE VIII. PUISQUE (art. 12 n°5) APX PB, ou (no 1 no 18) F16.56. Cr.PM2 :: CB2. CD2, & AI x IB ou (no 18) CP2. PROPOSITION ΧΙ. Theorême. 23. AYANT suppose les mêmes choses que dans la Pro- FIG. 56. position precedente.. Je dis que la rectangle VO × OM des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL2, quarré de la même appliquée ; comme VM2, quarré du diametre VM, est à FS2, quarré du diametre conjugué à VM. : Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; CP, *; PM,y; OR, ou ON, 2; CQ, m; CV ou CM, d; FC, ou CS, f; CO, u; & OL ou OG, S. Il faut prouver que dd-uu. ff:: dd. ff :: 4dd. 4ff. DEMONSTRATION. L'on a (art. 12) aayy A. aaxx, les triangles semblables MCP, 66 OCQ, donnent d (CM).x (CP)::u (CO).m (CQ); donc B. dm = ux, & les triangles semblables SCI, LON, & CI2 =(n°. 18) aa - xx, donnent ff (CS2). aa - xx (C12) :: ∫∫(LO2). zz, (ON2); donc C. ffzzaaff-xxff. En reprenant presentement l'équation du quatriéme Corollaire de la Proposition precedente no 18, qui étant divisée par 2, devient, tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du second pour aayy, sa valeur aabb -bbxx tirée de l'équation A, l'on aura aamm xx + zzxx чихх aa zz, & mettant encore pour mm sa valeur tirée de l'équation B, & pour zz, sa valeur **/-**/ tirée de l'é. quation C,l'on aura aprés les réductions & transpositions, ff COROLLAIRE I. 24. S 1 MV & FS font les deux diametres conjuguez égaux, d sera =f; & l'équation deviendra dd - uu = II, qui feroit une équation au cercle, si l'appliquéeOZ faifoit un angle droit avec CM. DE'FINITION. 25. S 1 l'on fait d. f:: 2f. p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre MV. COROLLAIRE II. : 26. La proportion d. f :: f. p donne dp = 2ff; done en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc c'est pourquoi si l'on met dans l'équation precedente 2d = dd ff d'où l'on 27. L'on peut encore mettre pour un autre rapport m ===#; & l'on aura dd - uu = ", d'où l'on dd P tire dd -yu. m. n. ин On ajoutera ici les mêmes choses que l'on a dites art. 12. no. 9, 10, 11, 12, 13,.& 14. PROPOSITION XII. Theorême. 28. L. ES mèmes choses étant encore fuppofées, si l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq x qS. qG2 :: FS2 . VM2. En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF, f; CO, ou qG, u; OG, ou Cq, S; Fq fera f-f; & qS, f+f. Il faut prouver que ff ff. un :: 4.ff. 4dd. DE'MONSTRATION. En reprenant l'équation de la Proposition precedente la multipliant par ff, transposant & di dd-uu = ddss ff visant par dd, l'on en tirera ff-f=ffe, qui donnera ff -J.uu :: ff. dd :: 4ff. 4dd. C. Q. F. D.. DEFINITION. 29. S 1 l'on faitf. d :: 2d. p, la ligne = p sera appellée le parametre du diametre FS. COROLLAIRE I. 30. LA Proportion precedente donne pf=2dd; donc ff 2f tion precedente pour fa valeur l'on aura ff-f= 4 COROLLAIRE II. 31. L'on peut encore changer le rapport, 72 2f ou-en 이 P 25 un autre rapport égal & l'on aura ff-=ce qui donne ff ff. uu :: m. n. On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12 no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. COROLLAIRE III. 32. 1 1 eft clair (n. 25 & 29 ) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre. PROPOSITION XIII. Problême. : 33. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent quelconques par le milieu en Cà angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la même Ellipse. Cette Proposition contient deux cas qu'on pourroit neanmoins reduire à un seul, comme on va voir dans le second: le premier eft lorsque les lignes FS & MV font égales: le second lorsqu'elles font inégales. 34. AYANT joint les points M, S& M, F, & ayant divise MS & MF par le milieu en P & Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF font égales, & que les points P & 2 divifent par le milieu MS & MF. Soit ensuite fair PI=CP & QH=CQ, & du centre C par 1, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipse done AB & DE sont les axes, passera par les points FIG. 18. M, F, V & S. dont DEMONSTRATION. AYAN YANT nommé AC, ou CB,a; CD, ou CE, b; CP, ou PI, x; PM, ou CQ, ou QH, y; l'on a par la proprieté du cercle, & par la Construction, aa-xx (AP × PB)=xx (PI2, ou CP2), & bb-yy (EQ X QD) X =yy (QH2, ou CQ2), d'où l'on tire x = √aa,&y 2 =√bb; c'est pourquoi ( no. 19 & 21 ) les points S, M, V & S, sont à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. Q. F. D. SECOND CAS. : 35.SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faite MK F 16. 59. prise sur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS ; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élevera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point; puisque (no 13) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & FS font deux diam. conjuguez; & que (n°10) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupéra MG aux points T& H, par où, & par C, l'on menera TC, & HC indefiniment prolongées au-delà de C par rapport à T & à H: l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à CH & à CT; & ayant pris AB moyenne proportionnelle entre CT & CP; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA=CB, & CE = CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & AD (qui à cause du cercle se coupent à angles droits) font les axes, passera par les points M, F, V & S. 3 DEMONSTRATIO N. AYANT abaisse du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divisera CT par le milieu en N; & P |