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I

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partant NG= CH, & ayant abaiffé du point S fur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b ; CM ou CV,d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CQ, y ; & CI, z; l'on aura ( Conft.)

aa

CP ( x ). CB ( a) :: CB ( a ) . CT = &

x

bb

,

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CQ (y). CD (b) :: CD ( b ) . CH= donc NT="

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27

x

bb

y

2x

~x,& QH = ~ -y,& les triangles

y

femblables CIS,MOH, TPM donneront C1(2). CS (ƒ)

fx

:: MQ(x). MH= & C1 (z). CS (f) :: TP

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(x). TM, donc HM + MT, ou

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6422

NG'), d'où l'on tire ff+

bb

MQ (x). QH (t − y) =

y

atyy

donc à caufe de l'angle droit CIS,ff (CS2 ) = 2+

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eft une équation à une Ellipfe dont les axes font ( Prop. I ) AB=2a, & DE=2b,& qui prouve au moins que cette Ellipfe paffe par les points M, & V; puifque (Hyp. ) 풍:

CMCV:

Or (Cont.) CM ( d ). CS (f) :: CS (ƒ). MK=

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=

—CM× MK= Const. CS2)=ff, d'où l'on tire aa-xx ; c'eft pourquoi (n. 18 ) l'Ellipfe paffe auffi par les points S& F. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

36. S1 1 MV=FS; CM fera =MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la pofition des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

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UNE équation à l'Ellipfe ab - xx=étant donnée, décrire l'Ellipfe, lorfque les coordonnées font un augle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez la Prop 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente, on déterminera les foyers par la troifiéme, & on décrira l'Ellipfe par la premiere.

par

SECTION VII.

Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan.

FIG. 60. XIV.

U

PROPOSITION I.

Theorême.

N angle quelconque HCK, & un point quelconque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan. Si l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I & en K, & qu'on prenne fur IDK la partie KO — ID. Je ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les afym. ptotes..

AYAN

DEMONSTRATION.

YANT mené par les points D & O, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, s; FO, ou CG ou NR, 2; NF ou RO ferafc,& DR,d—Z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d―z ༢. (DR).-c(RO) :: z(OF). c (FK);donc cd — cz= fz — cz, ou cd=fz. Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée ( art. 9, no 16 ), il fuit qué la courbe décrite comme on vient de dire, eft une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, z diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, z diminuera auffi à l'infini; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK

font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D,

L

COROLLAIRE I.

1. I 1 eft clair que tous les rectangles femblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL × LD; & que l'on a toujours s1⁄2 cd.

I

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f

2. Si l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les afymptotes en 7 & en S, TB fera toujours égale à VS : car ayant mené B & VQ paralleles aux afymptotes, l'on aura (Corol. 1) CX x XB = CQ × QV, ou (en nommant CX, c; XB,d; CQ, f; 2, z 3 ) fz=cd, ou fr—cz=cd—cz, qui étant changée en analogie, don·Z.-c. c,d'où il fuit par la Démonstration de cette Propofition que XBQS; donc TB = VS.

ne d

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3. I 1 eft clair

L

=

COROLLAIRE III.

que les parallelogrammes CD, CB, CO, CV font égaux entr'eux.

COROLLAIRE IV.

4. Si l'on avoit nommé NF, ou RO, f, l'on auroit eu =cd—c,qui montre que lorfqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indétermi nées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des afymptotes.

COROLLAIRE V.

5. IL eft évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faifant KODI peuvent fervir à en trouver d'autres

comme B, & B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION IL
II.

Theorême.

6.E
N fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere Pro-
pofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des afymp-
totes une ligne quelconque CM qui rencontre OG&DL, pro-
longées ou non prolongées en P & en M. Je dis que Le rectan
gle CM x CN, ou CM × LD est égal au rectangle CP × CF,
ou CP x GO.

Ayant nommé les données CZ, d; CN, c; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,CG,ou FO, X; CP,u. Il faut prouver que ac —us.

DEMONSTRATION.
A Caufe des triangles femblables CZM, CGP, l'on
a CL. CM CG. CP, ou en termes algebriques d.a ::
Z.; donc du=az: mais (Prop. 1)f=cd, d'où l'on

cd

tire ; mettant donc cette valeur de 7 dans l'é-
S
quation précedente, l'on aura fu ac. C. Q. F. D.

On peut encore démontrer cette Propofition en cette forte. A caufe des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG :: CM. CP; c'eft pourquoi en mettant dans l'équation de la Propofition précedente f1⁄2=cd, en la place de d (CL) & de (CG) leurs proportionnelles a ( CM) & u ( CP ), l'on aura fuac.

PROPOSITION

Problême.

III.

FIG. 61.7.UNE Hyperbole MBm, dont les afymptotes font CT,

& CH, étant donnée. Il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles

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