la ligne

aux afymptotes, foit prife IT-CI. Je dis que TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATION.

P AR l'Hypothese; TBH rencontre l'Hyperbole en B; & parceque CI = IT, TB fera auffi BH ; d'où il fuit que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; HO (no 2) =BT seroit BH. Ce qui eft impoffible; c'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D. COROLLAIRE

L

=

I.

8. I1 eft clair que toutes les tangentes, commie TBH terminées par les asymptotes en T & H, font divifées en deux également par le point touchant B.

L

COROLLAIRE

II.

9. Iz fuit auffi que fi la position de la tangenteTBH,est telle que la ligne menée de l'angle C des afymptotes au point touchant B, divife cet angle en deux également,les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire : car puifque les angles BCG, BCIfont égaux, le parallelogramme GI fera un rombe ; & partant CI=CG, donc CT (n° 6) double de CI= CH double de CG; c'eft pourquoi les angles CBH, CBT font droits.

10.

COROLLAIRE III.

IL L fuit encore que fi l'angle des afymptotes HCT eft droit, dans toutes les Pofitions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des afymptotes au point touchant B sera = BH= BT; fi cet angle eft aigu, CB surpassera BH, ou BT; s'il eft obtus CB fera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle fur le diametre HT, le point C fera fur la circonference fi l'angle HCT eft droit; hors du demi cercle, s'il eft aigu; & dans le demi cercle, s'il eft

obtus ; donc au premier cas CB BH ou BT; au fecond, CB furpaffe BH, ou BT; & au troifiéme, elle eft moindre.

COROLLAIRE IV.

Il est encore manifeste que les lignes LK, Mm paralleles à la tangente HBT font coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puifque BH BT, PL fera PK: mais (n° 2 ) ML = mK; donc PM=Pm,

= BT

12.

= =

PROPOSITION IV.
Problême.

UNE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l'Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que que l'origine des indéterminées x, & y eft au fommet de Fangle des afymptotes.

Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI &CG chacune—a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les afymptotes

CT & CH.

DEMONSTRATION.

ELLE eft évidente par la premiere Propofition,
PROPOSITION V.
Theorême.

FIG. 61. 13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT font les afymptotes; foit auffi par un point quelconque B, menée (no. 7) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M& m,& les afymptotes en L&K. Je dis queCP-CB2. PM2 :: CB2. BH', ou ce qui revient au mème, ayant prolongé BC en A, & fait CA=CB, que AP × PB.PM :: AB. TH2.

Ayant

Ayant mené BI, BG, mQ & mN paralleles aux afymptotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, b; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; PM, ou Pm,y; CQ, ou Nm, S; CNou Qm, z; AP fera x+a,& BP,x—a.

Il faut prouver que xx―aa. yy :: aa. bb ::4aa. 4bb.

DEMONSTRATION.

LES triangles femblables CBT, CPK donnent CB

(a). BT (b) :: CP ( x). PK=

bx

bx

donc mK

-y, mL +y; & à cause des triangles femblables TBI, KmQ, & BHG, mLN, l'on a b(TB).d (BI) :: —y (Km).z(mQ), & b( BH). c ( BG)

bx

6x

-+y (mL) f. (mN), d'où l'on tire ces deux équa

tions by = bdx — dy, & bf = b+cy, & en multipliant

le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & le fecond par le fecond, l'on a bbfz

bbcdxx

par la premiere Propofition=cd; donc bb

-cdyy: mais

bbxx

yy, en divifant par les quantitez égales fz, & cd; d'où

14I1 est évident ( art. 9 no 7, 11,& 12), & par cette

aary

¿quation xx-aa = =, qui eft la même

que celle. du même article n°. 11, que le point C, eft le centre de l'Hyperbole MBm, que AB est l'axe, fi l'angle CBH

eft droit, autrement AB eft nommée diametre détermiFIG. 62. nés que DE parallele & égale à HT eft l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que FP eft le parallelogramme des coor données.

COROLLAIRE IL

FIG. 62, 15. L'EQUATION precedente

a

xx

ne x ==+
±√bb +gy, qui fait voir que fi l'on prolon-
ge MF en N; en forte que FN=
que FN FM, le point N fe-
ra à l'Hyperbole, & fi l'on fait y = o, la ligne MN fe
confondra avec la ligne AB, le point Favec le point C,
& l'on aura x =+a, d'où il fuit que le point M fe con-
fond avec le point B, & le point N avec A; de forte
que CA=CB, & que le point A fera à l'Hyperbole.

y:

е

Si dans la même équation on fait x=0, ayant mené NO parallele à DE, ou à PM, les points P&Q fe confon dront avec le point C, & l'on aura y=+V-bb. Or parce que les valeurs de y font imaginaires; il fuit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire auffi de la même équation y➡➡ — √xx—aa ; + — √xx — aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, Non des deux côtez de AB, tant que x (CP, ou C2) surpasse a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B&A, lorsque CP=CB, ou xa: car xx aa devient aa aa = 0; & par

consequent y =

√xx—aa =0 ; & que lorsque les points P&Q tombent entre A & B, c'est-à-dire, lorf que a furpaffe x, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B: car la quantité xxaa devient negative, & par confequent les valeurs de y

√ xx—aa deviennent imaginaires. Enfin l'é

aayy

bb

quation xx—aa=. , fait voir que x CP, ou CQ) croiffant,y (PM, ou QN) croît aufis c'eft pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolongé de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm & NAn oppofées l'une à l'autre, qui ne fe rencontre point, & s'étendent à l'infini. Ce font ces deux parties de l'hyperbole que l'on appelle Hyperboles oppofees.

L

COROLLAIRE III.

16. II eft clair que les Hyperboles oppofées font égales & femblables; puifque les coordonnées NF, NO de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre.

L

COROLLAIRE IV.

17. I1 eft auffi manifeste que les afymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées versg, & vers k, font auffi les afymptotes de l'Hyperbole oppofee NAn ; puifque Nk & ng, font toujours égales à mK & ML,

COROLLAIRE V.

18. I Left encore évident que la ligne hAt menée par le point A parallele à DE, ou HT; & qui rencontre les afymptotes en h&t, eft égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A; puifqu'elle eft divifée en deux également en A, comme HT l'eft en B, & que CA C.B.