aux asymptotes, soit prise IT=CI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATΙΟΝ.

PAR l'Hypothefe; TBH rencontre l'Hyperbole en B; & & parce parceque CI=IT, TB sera aussi === BH; d'où il suit que BTH ne rencontre l'Hyperbole qu'en un seul point B: car fi elle la rencontroit en un autre point 0; но (n° 2) = BT seroit = BH. Ce qui est impossible ; c'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. C. Q. F. D.

L

COROLLAIRE

I.

8. 3.11 eft clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les asymptotes en 7 & H, font divisées en deux également par le point touchant B.

COROLLAIRE II.

9. I L fuit aussi que si la position de la tangenteTBH, est telle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCIsont égaux, le parallelogramme GI fera un rombe; & partant CI=CG, donc CT (no 6) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT font droits.

COROLLAIRE III.

10. IL fuit encore que si l'angle des asymptotes HCT est droit, dans toutes les Positions de la tangente Tвн, la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point touchant B fera = BH=BT; fi cet angle est aigu, CB surpassera BH, ou BT; s'il est obtus CB sera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point C sera sur la circonference si l'angle HCT est droit; hors du demicercle, s'il est aigu; & dans le demi cercle, s'il est

obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT ; au second, CB furpasse BH, ou BT; & au troisieme, elle est moindre.

COROLLAIRE IV.

Mm

II. IL est encore manifeste que les lignes LK, paralleles à la tangente HBT sont coupées par le mi lieu en P par la droite CB prolongée, car puisque BH = BT, PL sera = IPK : mais (n° 2 ) ML =mK; donc PM= Pm.

PROPOSITION IV.

Problême,

12. UNE équation à l' Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l' Hyperbole.

On voit par l'équation, qui n'a que deux termes, que que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'angle des asymptotes.

Soit C l'origine des indéterminéesx, qui va vers T, & y qui va vers H, & ayant pris CI&CG chacune=a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décri. ra (Prop. 1.) l'Hyperbole MBm, entre les asymptotes

CT & CH.

DEMONSTRATION.

ELLE est evidente par la premiere Propofition,

t

PROPOSITION V.
Theorême,

IG. 61. 13. SOIT

FIG,

une Hyperbole MBm dont CH & CT font les asymptotes ; foit aussi par un point quelconque B, menée (no.7) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre m,& les asymptotes en L & K. Je dis queCP2 - CB2. PM2 l'Hyperbole aux points M& :: CB2. BH2, ou ce qui revient au mème, ayant prolongé BC en A, & fait CA =CB, que AP × PB.PM2 :: AB2. TH2.

Ayant

Ayant mené BI, BG, mQ & mN paralleles aux asymptotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT, b; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm, S; CNou Qm, z; AP sera x+a, & BP, x-a.

::aa. bb::4aa.466.

Il faut prouver que xx - aa. yy :: aa.

DEMONSTRATION.

bx

bx

LES triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (b) :: CP(x). PK =; donc mK = -y, mL=+y; & à cause des triangles semblables TBI, KmQ, & BHG, mLN, l'on a b(TB).d (BI) :: -y (Km).z(mQ), (Km).z(mQ), & b (BH).c (BG)

bx

4

bx

+y(mL) S. (mV), d'où l'on tire ces deux équa

bdx

bcx

a

tions bz=-dy, & bf = "+cy, & en multipliant le premier membre de l'une par le premier de l'autre, &

bbcdxx

le second par le second, l'on a bbsz:

aa

-cdyy: mais

bbxx

par la premiere Propositionsz=cd; donc bb = yy, en divisant par les quantitez égales sz, & cd; d'où

14.11 est évident (art. 9 no 7, 11, 12), & par cette équation xx-aa = qui est la même que celle du même article no. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole MBm, que AB est l'axe, si l'angle CBH

est droit; autrement AB est nommée diametre détermiFIG. 62. nés que De parallele & égale à HT est l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que FP est le parallelogramme des coor données.

COROLLAIRE II.

S. L'EQUATION precedente xx

FIG. 62. 15.

b

-aa=

ne x = √bb+yy, qui fait voir que si l'on prolonge MF en N; en forte que FN=FM, le point N fera à l'Hyperbole; & fi l'on fait y = la ligne MN fe confondra avec la ligne AB, le point Favec le point C, & l'on aura x = + a, d'où il suit que le point Mse confond avec le point B, & le point N avec A; de forte que CA=CB, & que le point A fera à l'Hyperbole.

Si dans la même équation on fait x = 0, ayant mené NQ parallele à DE, ou à PM, les points P & Q se confondront avec le point C, & l'on auray+V-bb. Or parceque les valeurs de y font imaginaires; il suit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire aufi de la même équation y=±- ✓ xx-aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, Non des deux cô tez de AB, tant que x (CP, ou C2) surpafle a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorsque CP=CB, devient aa 0; & par consequent y=-xx-aa=0; & que lorsque les points P & Q tombent entre A & B, c'est-à-dire, lorf que a furpasse x, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : carla quantité xx

Ou xa: car xx

=+

aa

-aa=

aa devient negative, & par consequent les valeurs de y

xx-aa deviennent imaginaires. Enfin l'é

xx-aa=!

aayy
662

quation fait voir que x CP, ou CQ) croiffant, y (PM, ou QN) croît aussi ; c'est pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolongé de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm & NAn oppofées l'une à l'autre, qui ne se rencontre point, & s'étendent à l'infini. Ce font ces deux parties de l'hyperbole que l'on appelle Hyperboles opposées.

COROLLAIRE III.

16. I 1 est clair que les Hyperboles opposées sont égales & semblables; puisque les coordonnées NF, NO de l'une font égales aux coordonnées MF, MP de l'autre.

P

COROLLAIRE IV.

:

17. I 1 est aussi manifeste que les asymptotes CH, CT de l'Hyperbole MBm, étant prolongées versg, & vers k, font aussi les asymptotes de l'Hyperbole oppofee NAn; puisque Nk & ng, font toujours égales à mK & ML,

18.1 Lest encore évident que la ligne hAt menée par le point A parallele à DE, ou HT; & qui rencontre les asymptotes en h & t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole NAn en A; puisqu'elle est divisée en deux également en A, comme HT l'est en B, & que CA CB.

COROLLAIRE VI.

bx

19. Lo Na (no 12) ML=-y, & MK =

bbx

bx

bx

a

l'on a auffi (n°.13) 66-yy-yx+y, qui montre que BH2 (66) =KMX ML.