COROLLAIRE VII.

20. L'ON tire de l'équation à l'Hyperbole xx - aa =

gles semblables HBC, CFG donnent HB (b). BC(a)

ay

:: CF ou PM (y) FG=7; & partant GM = FM

-FG=x-, & MO=x+ 7; d'où il suit que

OM * MG(xx)=CB2 (aa),

X

anyy
bb

DEFINITION.

21. S 1 l'on décrit (Prop. 1) dans les angles HCt, TCh par les extremitez D & E du diametre De conjuguć au diametre AB, les Hyperboles opposées RDS, ref, ces Hyperboles feront nommées conjuguées aux Hyperboles opposées MBm, NAn..

COROLLAIRE VIII.

22. I 1 est clair que les lignes Ht, Th passeront par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS, res, puisqu'elles y font divisées par le milieu, comme AB, à qui elles sont paralleles & égales, l'est en C.

COROLLAIRE IX..

23. D'où il fuit que DE & AB font les axes conjuguez des Hyperboles RDS, ref, si DE est perpendiculaire à AB; autrement, elles en font deux diametres conjuguez.

AVERTISSEMENT.

24. I L n'est point necessaire de démontrer que les Hyperboles RDS, ref, ont les mêmes proprietez que les Hy

perboles MBm, NAn; puisque ce ne scroit qu'une repetition inutile.

DEFINITION.

25. Si l'on fait a . b :: 26. 266

a

que je nomme p, la ligne

égale à p, est appellée le parametre du diametre AB.

COROLLAIRE X.

26.a. b :: :: 26. 2 p, donne ap=2bb, ou aap = 2abb;

d'où l'on tire24 P

=

aa

; c'est pourquoi, si dans l'équa

tion à l'Hyperbole xx-aa=

24

met sa valeur - l'on aura xx - aa= d'où l'on

P

tire xx- aa. yy :: 2a. p, & fi l'on met en la place de

On

un autre rapport égal, l'on aura xx -aa= ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (art. 12 no 9, 10 11, & 12.

COROLLAIRE XI..

27. Si l'on avoit nommé (no. 12) BP, x; AP auroit été 2a + x, & l'on auroit trouvé cette équation 2ax+xx

, qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il se trouve des seconds termes dans son équation.

COROLLAIRE XII.

28. Sr dans l'équation à l'Hyperbole xx - aa

2ax + xx

aayy

aayy ou

bb, a eft = b, ces deux équations de

viendront les deux suivantes xx - aa aa=yy, & 2ax+ xx=yy, c'est-à-dire, qu'alors AP × PB = PM2; les diametres conjuguez AB, DE feront égaux ; )وم(

FIG. 62.

les asymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs parametres.

L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l'Ellipse, qu'en ce que les deux quar. rez inconnus, ont un même signe lorsque l'un est dans un membre de l'équation, & l'autre dans l'autre, ou differens signes, lorsqu'ils font tous deux dans un même membre, & c'est le contraire dans celles du cercle, & de l'Ellipfe, comme on a remarqué (art. 12 no13); d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Hyperbole, quelque mêlange de constantes qu'il s'y puiffe rencontrer, lorsque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même signe, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre, ou des signes differens, étant tous deux dans le même membre; & souvent même lorsque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis souvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la fuite.

DEFINITION.

:

29. L'HYPERBOLE qui a ses asymptotes a angles droits, ou (no. 9) ce qui revient au même, dont les diametres font égaux entr'eux & à leurs parametres, estappellée Hyperbole équilatere; parceque l'axe d'une Section conique eft appellé par Apollonius, latus tranfverfum, & son parametre, latus rectum.

PROPOSITION VL

30. U NE équation à l' Hyperbole xx+cc-dd=myy étant donnée, décrire l'Hyperbole.

n

Soit C l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui va vers F, & qui font un angle quelconque FCP, le point C sera aussi le centre de l'hyperbole; puisqu'il n'y a point de second terme dans l'équation. En supposant

myy

1o. Que d surpasse c; soit ff = dd-cc, & mettant dans l'équation en la place de dd- ce sa valeur ff, elle deviendra xx-ff = """. Soit pris CB=f; CB sera (no 13) le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m.n :: ff.f ; va fera (art. 12 no. 12) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT paralle à CD, & fait BH & BT chacune égale =CD; l'on menera les lignes CHL, CTK du centre C par les points H&T qui feront (no 13) les asymptotes, & l'on décrira l'hyperbole (Prop. 1) par le point B. DE'MONSTRATION..

772

mi

ELL LLE est évidente par les art. & n°. que l'on vient de

citer..

30. En supposant 2o. Que c furpassed, foit fait gg = cc - dd, & mettant dans l'équation en la place de ce

myy

16

: mais par

- dd sa valeur gg, l'on aura xx+gg= ce que cette équation n'exprime point dans l'état où elle est, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13) ou dans la Prop. 5: car xx+gg n'est point égal à AP x

multipliant parn, divisant parm, & transposant, qui montre que le demi diam. exprimé par "s doit être pris sur

CF exprimé par y. Ayant donc pris CD=

:

ngg

Ingg
*; & fait

m

n.m:: .gg, g sera le demi diametre conjugué à CD; fi l'on mene presentement par D la ligne DH parallele à CB, & qu'on fafle tD & DH chacune g; les lignes menées du centre C part & par H, feront les asympto.. tes; & l'on décrira l'hyperbole par le point D.

DEMONSTRATION.

ELLE est la même que la précedente.

4

PROPOSITION VII.

Theorême.

FIC. 63. 31. UNE Hyperbole BM, dont Ceft le centre; AB & DE les deux axes, ou deux diametres conjuguez quelconques; & CH, CT, les afymptotes. Si l'on mene (n°. 6) par un point quelconque Mautre que B la tangente EMF, qui rencontre les asymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre AB en un point L, qui sera situé entre le centre C, & l'extremité B du même diametre AB ; & que CP. CB :: CB . CL.

Ayant mené par Mles droites PMK parallele à DE, ou HT; MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, & par le point B, les droites BG, BN paralleles aux asymptotes CT, CH, & nommé les données & constantes CB, ou CA, a; CD, ou BH, ou BT, b; BG, ou CN, c; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP,x; PM,y; CI, ou (n°. 6) IE, f; MI, z; & CL, t. Il faut prouver que x. a:a.t.

DEMONSTRATION.

LE s triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a).

bx

a

bx

BT (6) :: CP (x). PK=; donc MK= -y.Les triangles semblables TBN, KMI, donnent b(TB).d

bx

a

(BN)::- - (KM). (MI), d'où l'on tire z= bax - ady

ab

Les triangles semblables BNC, MIO donnent

cz

BN (d). NC (c) :: MI (x(. 10 =; donc EO

20

EI+10=f+7; &BN(d).BC (a) :: MI (2). MO