état. Ce qu'il y a de conftant, c'eft que lorfque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimenfions, foit qu'elles foient multipliées par elles mêmes ou entr'elles, les équations appartiendront toujours une des quatre Courbes du premier genre. Il eft même tres-fouvent facile de reconnoitre par la feule infpection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où 'on puiffe fe méprendre,qui eft lorfqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues fe rencontre encore dans quelqu'un de fes termes car ces équations appartiennent fouvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle, ou à la parabole, ou à l'Ellipfe: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu, & que le produit des deux inconnues fe trouve dans un autre terme, l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il fera libre de la réduire aux diametres; ou aux afymptotes, comme on va bien-tôt voir.

Il fuit de tout ceci que pour conftruire les équations qui ne font point dans l'état des précedentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes aufquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres regles que celles des trois Sections précedentes, ou il faut donner des regles pour ramener ces équations à l'état où font celles des mêmes Sections, afin de fe fervir des mêmes regles dont on s'y est servi pour décrire ces Courbes : mais comme il va paroître un Livre de Monfieur le Marquis de l'Hôpital (pour l'intelligence duquel celui-ci ne fera peut-être pas inutile) dans lequel on trouvera des Méthodes de conftruire les équations indéterminées, telles qu'on les trouve en refolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxième degré, à l'état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précedentes. Les moyens dont on fe fert pour changer d'état ces équations, font nommées réductions.

DES REDUCTIONS

Des Equations indéterminées du premier & du fecond degré. 1. Il n'y a que deux chofes qui empêchent les équations indéterminées du fecond degré, d'être femblables, où dans le même état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Courbes aufquelles elles appartiennent dans les trois Sections précedentes. Ces deux chofes font les feconds termes, & les rectangles compofez; de forte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire éva-nouir par les regles ordinaires les feconds termes, & changer les rectangles, ou produits compofez en des rectangles, ou des produits fimples.

J'appelle rectangle compofé, le produit d'une lettre ou quantité connue, ou inconnue, par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou fouftraction d'une autre lettre ou quantité connue fimple, ou compo fee. Par exemple ay+xy, eft un rectangle compofé de a ± × × y ; aa ±ay, est un rectangle compofé a +yx a i axaxy, eft un rectangle compofé de

b

+by+xy, eft compofe de a+b+xx y.

autres.

aaay

b

x xjay

Il est ainfi des

2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes femblables aux rectangles compofez dont nous venons de parler. Par exempleaaby, n'eft point le produit d'une quantité fimple par une quantité complexe : car pour cela, il faudroit qu'il y eut un 6 dans le premier terme aa; c'est pourquoi il faut (art. 5) changer aa en un rectangle dont un cô té foit b, comme en bc, & mettant be en la place de aa, l'on aura bebycyxb. Il en est ainfi des autres.

b

Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les feconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits compofez en des produits fimples, & il y en a d'autres où il y a toutes ces deux chofes à faire. Les exemples fuivans ne laisseront rien à éclaircir fur ce fujet.

EXEMPLE S.

De la réduction des Equations en faifant evanouir les Seconds termes.

N

3. On fçait que la regle de faire évanouir le second terme d'une équation, eft d'égaler la racine du premier + qu-le coefficient du fecond divifé par l'expofant du premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équation que j'appelle réduction; d'où l'on tire une valeur de l'inconnue qui eft la racine du premier terme de l'équation à réduire, & fubftituant cette valeur, & celle de fes puiflances dans l'équation à réduire, elle fe change en une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire évanouir le fecond terme, ne fe trouve plus: mais il fe trouve en fa place la nouvelle inconnue de la réduction, dont le premier terme est élevé à la même puiffance que celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en a point de fecond. Ceci eft general pour les équations de tous les degrez, quoiqu'il ne foit ici que ftion que des équations du fecond.

EXEMPLE I

4. So1T l'équation xx-ax+y=by. Il eft clair que cette équation appartient au 'cercle, puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx & yy qui ont le même figne +étant tous deux dans un même membre de l'équation: mais les inconnues n'ont point leur origine au centre: car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un fecond terme ax & by. Pour faire évanouir le fecond terme— ax, je fais x z; donc x=x+= a, & mettant cette valeur de x, & celle de fon quarré dans l'équa tion, elle deviendra zg da+yy=by, ou z est un premier terme qui n'en a point de fecond. Pour faire évanouir le fecond terme by, je le paffe du côté de fon pre, miery, afin que yy garde fon figne, ainfi l'équation

a

devient

I

devient zz———aayy-by=o; & faifant y ——6

2

l'on a y—ú+ — b; & mettant cette valeur de y & celle de fon quarré dans l'équation en la place de y

& de yy, l'on aura zg →

4

ac bb
f

qui montreroit que cette équation appartient au cercle fi on ne l'avoit pas connu d'abord, & qui montre que les inconnues & ont leur origine au centre; puifque ni l'une, ni l'autre n'ont point i'de fecond terme. Le demi diametre de ce cercle eft égal

5. SOIT une équation xxbx zax-yy=0. On voit déja que cette équation eft à une Hyperbole équilatere, puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus avec differens fignes dans un même membre, & délivrez de

toute quantité connue; en faifant x →✈ + b a = 2, l'on auraxba, & aprés les substitutions l'on aura zx— — bb+ab — aa—yy=0, ouzz

bb

✦ab — aa➡yy: mais fib surpasse a il faudra transpofer le terme connu : car en ce cas il eft pofitif, & dans l'équation à l'Hyperbole il doit être négatif, ainfi l'équation sera x=yy+ — bb—ab→aa,où les inconnues

&y ont leur origine au centre de l'Hyperbole, dont les demi diametres conjuguez fonc égaux entr'eux & à — b—a, ou a— — b.

EXEMPLE III.

6. SOIT XXxx 2xy + by, qui eft une équation où il y a un fecond terme 2xy qui peut apartenir indifferemment à deux premiers: mais parce que le quarré de y ne s'y trouve point, il faut neceffairement le rapporterà xx; faisant donc x-y-, l'équation se réduira à zz―yy+by mais la réduction a fait naître un premier terme yy qui a pour fecond by;c'eft pourquoi en tranfpofant pour donner à yy le figne, l'on a zyy-by,& faifanty --6

U ; Péquation se réduira a z➡mu——bb, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere, où les inconnues & ont leur origine au centre.

EXEMPLE IV. STI 2 R 7. So1xxxjaayyo, en faisant xy z, l'équation se réduit à celle-ci zg→Jy — aa ✦ zÿÿ = o, ou za ayyo, qui est une équation au cercle, fi les inconnues &y font un angle droit à 'T'Ellipfe, s'il eft oblique.

de

•Si dans l'équation à réduire xx—2xy—aa→ 2yy,au liệu 2yy, il y avoit durexx-2xy—44+2yy, 2yy, elle appartiendroit à l'Hyperbole dont les diametres ne font point égaux; s'il y avoit +3yy ou+4yy &c, elle appartiendroit à l'Ellipfe, & fi au lieu de 2yy, il y avoit+by+yy, elle appar tiendroit à la parabole.

TEXEMPLES.

Des réductions en changeant les produits compofez en produits fimples.

ON réduit en changeant les produits composez en des produits fimples, toutes les équations où il n'y a point de quarrez inconnus, qui font celles qui appartiennent