Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]
[ocr errors]

lettre c qui tient la place de x, est constante ; ainsi ayant pris sur AH, AD=C, & mené D E parallele à BC; DE fera la valeur de c; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, iln'y a que le seul point E qui résout le Probleme, puisque =c ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II. 4. D'où l'on voit que les équations déterminées , & indéterminées du premier degré, sont de même

genre; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes , & de la même maniere.

in COROLLA IR E III.

[ocr errors]

SI

1 Dans l'équation precedente ay=bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC = AB;& afsignant à x la valeur arbitraire AD; DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD = x.

[ocr errors]

х

COROLLAIRE IV.

[ocr errors]

6. Il est évident

que

dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entr'elles un rapport constant , c'est-à-dire , qu'elles sont l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente ay = bx, où x.y::a.b, & dans celle-ci y=x, où x.y :: I, I.

COROLLA IR E IV. On voit aussi avec évidence que dans les.equations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît ausli ou diminue qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer å l'infini , en gardant toujours entr'elles le même rapport.

[ocr errors]
[ocr errors]

T H E o R E M E.

[ocr errors]
[ocr errors]

qui

[ocr errors]

8. S1 dans une équation indéterminée qui n'eft point du premier degré, & par consequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes , ou entielles , de quelque maniere que ce puisse être , l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les

tous les points détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, seront dans une ligne courbe.

DÉMONSTRATION, Dans les équations à la ligne droite , les inconnues gardent toujours (n° 6 ) entr'elles un rapport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes , ou entr'elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout ensemble ; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même rapport dans toutes les variations ou changemens de valeurs qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela , que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation , & l'autre dans l'autre , toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres sont multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles ; donc elles ne peuvent garder un rapport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner : c'est pourquoi , en assignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être determinées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le soient par une ligne courbe. C. Q. F.D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres , en les comparant à l'équation à la ligne droite , comme on va voir par l'exemple qui fuit,

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

9.

=

ز

EX EM P L E. Soit l'équation yy =aa—xx , qui est du second degre; Il est clair, 1°. Que x croissant , y diminue : car le lecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2o. On ne peut pas augmenter x en sorte qu'elle surpasse la ligne exprimée par a : car le fecond membre deviendroit negatif ; & la valeur de y seroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=o. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite ; puisque ses qualitez sont toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant

& qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de son équation yy=aa--xx. Soit une ligne droite CH, F16. 4.

= donnée de position dont l'extremite C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH , & dont les parties c soient nommées,y; soit aussi une ligne donnée KL nommeé, a; ayant mené PM parallele à CG, &QM parallele à CH; OM sera=CP=x, & PM=CQ=y.

Si l'on assigne presentement tant de valeurs differentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de y (PM).De sorte que tous les points M seront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy =

;

=*

14- XX.

Supposons premierement x=0; le point P tombera en C, & le point M, sur la ligne CG; & effaçant dans

, l'équation , le terme xx, qui devient nul par la supposition de x=0, l'on aura yy=aa, donc y

=ta; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de c; & qu'on fasse Ce, & CE chacun=KL=a ; CE sera la valeur positive de y, & Ce sa valeur negative, & les points E&c, seront la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y=0, le point q se con.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

prenne de

xx

fondra avec le point C, le point Mtombera sur CH, & l'on aura o=aa- xx

donc x=+a; c'est pourquoi , si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on

part & d'autre du point C, CB & C Achacune égale KL =-1; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative , & les points B & A , seront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les

quan tre points A, E, B, e, sont également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+V aa- *** d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre , & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera P Men M&m; PM sera la valeur positive dey,

, & Pm sa valeur négative, & les points M, mseront à la courbe cherchée;car à cause du triangle ređangle CPM; l'on a PM' =CM - CP, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa—xx ; dont y=+Vaa—xx.

Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ;c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée; ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos

de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes, les raisonnemens que l'on vient de faire , pour donner une idée de ceux que l'on doit faire sur les équations aux autres courbes , afin de les

moyen, d’en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales pro. prietez.

[ocr errors]

décrire par

leur

COROLLAIRI

COROLLAIRE J.

L

io. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation precedente, des valeurs CP prises sur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer

M fes valeurs correspondantes de y=PM,l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & assigner à y des valeurs ce prises sur CG, qui auroient servià déterminer de la mê. me manierė les valeurs correspondantes de x =

=QM CP , en tirant de l'équation précedente , x=y aa-yy.

COROLLAIRE II. 11. Il est clair

que

siune des inconnues x de cette équation yy=aa-xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée

par

le moyen du cercle ; d'où il suit en general que toutes les equations déterminées du second degré peuvent être construites

par

le

moyen du cercle , & qu'elles sont de même

genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQU E. 12. On remarquera ro. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les positions du point Q, la ligne QM doit toujours demeurer parallele à . 2°. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) sur CH , & l'autre (e) sur CB, qui peuvent servir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les antres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DE'FINITIONS. Dans toutes les courbes , les lignes droites (CH) dont au moins une des extremitez (Č) est fixe, & dong

C

13.

« AnteriorContinuar »