:

lettre e qui tient la place de x, est constante; ainsi ayant pris sur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE fera la valeur de c; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, iln'y a que le seul point E qui résout le Problême, puisque AD = ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes, & de la même maniere.

5. SI Dans l'équation précedente ay=bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y = x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC = AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD = x.

COROLLAIRE IV.

6. I L est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entr'elles un rapport conftant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente aybx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y = x, où x. y : : 1. I.

COROLLAIRE IV.

7. On voit aussi avec évidence que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croissant ou diminuant, l'autre croît aussi ou diminue; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entr'elles le même rapport.

A

THEOREME.

8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entrelles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.

Dans les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (no 6 ) entr'elles un rapport constant. Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même rapport dans toutes les variations ou changemens de valeurs qu'elles peuvent recevoir: car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothese, ces deux lettres font multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles; donc elles ne peuvent garder un rapport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner : c'est pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit,

EXEMPLE.

9. S011 OIT l'équation yy = =aa-xx, aa-xx qui est du second degré; Il est clair, 1°. Que x croissant, y diminue : car le fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter & en forte qu'elle surpasse la ligne exprimée par a: car le fecond membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par consequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite; puisque ses qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle se rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de son équation yy=aa-xx. Soit une ligne droite CH, FIG. 4. donnée de position dont l'extremite C foit fixe, & dont les parties CP soient nommées x; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties C2 foient nommées, y; foit aussi une ligne donnée KL nommeé,a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM sera =CP= x, & PM=CQ=y.

Si l'on assigne presentement tant de valeurs differentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de y (PM).De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle se rapporte l'équation proposée yy =

aa-xx.

Supposons premierement x= 0; le point IP tombera en C, & le point M, sur la ligne CG; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la supposition de x=0, l'on aura yy=aa, donc y = +a; c'est pourquoi fi on prolonge CG du côté de C; & qu'on faffe Ce, & CE chacun=KL=a ; CE sera la valeur positive de y, & Ce fa valeur negative, & les points E&e, feront la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y = 0, le point se con.

fondra avec le point C, le point Mtombera fur CH, & l'on aura 0=aa-xx, ou xx=aa ; donc x=±a; c'est pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A, feront à la même courbe en question. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on

aura en extrayant la racine quarrée y = + Vaa - xx d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PMenM & m; PM fera la valeur positive de y, & Pm sa valeur négative, & les points M, mferont à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 =CM-CP2, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa-xx ; dont y=+Vaa-xx.

Or il est évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée; ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes, les raifonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales pro. prietez.

COROLLAIRE

COROLLAIRE I.

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prises sur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y = PM,l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & assigner à y des valeurs Ce prises sur CG, qui auroient servià déterminer de la mê me maniere les valeurs correspondantes de x = QM

CP, en tirant de l'équation précedente, x = vaa-yy. COROLLAIRE II.

11. I L est clair que siune des inconnues x de cette équation yy=aa-xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il suit en general que toutes les équations déterminées du second degré peuvent être construites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQUE.

12. N remarquera 1. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les positions du point 2, la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH. 2°. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) sur CH, & l'autre (2) fur CB, qui peuvent servir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les antres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITIONS.

13. D ANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extremitez (C) eft fixe, & dont

C