'AI (Const.); KA, ou OF,g; & l'inconnue OP, où KC, les triangles semblables AIK, ABC donneront AI. AB AK. AC, & componendo IB. AI :: KC, ou OP. KA, ou OF: ce qui eft en termes analytiques zu. mettant cette valeur de uu dans l'équation réduite, l'on bg & , bbgg 244cc aaccff l'on tire cette Construction. Soit faite OD√2gg; OD fera le demi diametre de l'Ellipfe, & ayant fait 4gg.co 488 I = cc, 2 foit prife 0Q== cc, 0Q fera le demi diametre conjugué à OD, & l'on décrira (art. 13. n°.37) l'Ellipfe QSD qui rencontrera KA en S, & qui fatisfera au Probleme: DEMONSTRATION. AYAN YANT mené d'un point quelconque M pris fur l'El lipfe entre G & S l'appliquée MP parallele à 0Q. Par la proprieté de l'Ellipfe ODOP. PM2 :: OD2 · ·OQ2 ; ce quieft en termes algebriques 2gg-f. zz : 288. — co 488. cc, d'où l'on tire 48822 bb -uu, en mettant pour fa valeur bbggum,& rédui ༢༢ fant: mais par les deux réductions précedentes l'on at les valeurs de zz & de uu ; c'eft pourquoi en mettant ces valeurs de & de nu dans l'équation précedente, l'on aura, aprés avoir ôté les fractions, & ce qui fe détruit, 4aaxx- 4abxy +2bbyy +4aacx=0, ou xx — bbyy bxy ex ++ =o,qui eft l'équation que l'on a à construire 244 C. Q. F.D. REMARQUE. SI I l'on mene RN parallele à AG, la portion GN de l'Ellipse réfoudra le Problême si le point N tombe entre G&S: mais s'il tombe entre S &D, ce fera la portion GS: car les inconnues x & y qui font celles du Problême qu'on vient de conftruire ont leur origine en A. Et fi le point N tomboit entre S & D, 6. Si dans la Construction l'angle OPM s'étoit trouvé droit, & que dans l'équation 488xx =288—s, 28=c, cc le lieu auroit été au cercle. Ce qui eft évident; car cette équation feroit devenue z=2gg-S CONSTRUCTION. Des Equations, ou des lieux à l'Hyperbole par rapport à fes diametres. A PROBLEME INDETERMINE', F16. 82. XXI. UN angle droit HAG, & un point fixe B étant donnez de position fur un Plan. Il faut trouver le point M dans cet angle, d'où ayant mené MF parallele à AB & MB du point M au point fixe B, MF foit à MB dans la raifon donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, l'on menera MP parallele à AH, & en nommant la donnée AB, a; & les indéterminées AP, ou FM, x; PM, ou AF,y; BP fera x -a; & les qualitez du problême donneront m. n:: FM (x). MB & à cause du triangle rectangle = nx m nnxx BPM,l'on aura xx— 2ax+aa✈yy= ou mmxx mm' 2mmax+mmaa+mmyy=nnxx, qui eft encore une équation generale pour les trois Sections coniques, comme celle celle de l'art. 19 n°. 3: car fi l'on fait mn, l'on aura aa — 2ax+yy=0,qui est une équation à la parabole; fi l'on fupo Et enfin fi l'on fuppofe que m foit moindre que n, l'on aura xx+ 2MMAX — mmaa— mmyy nn - mm =o qui qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes axes, à cause de; l'angle droit BPM, mais parceque xx a un fecond terme, l'origine des indéterminées x & y n'eft point au centre. Pour la ramener à l'état de celle de l'art. 14 l'on fera évanouir le fecond terme en faifant n°. 12, mmas—mmyy = 0, & en multipliant le numerateur & nn - mm lui donner le même dénominateur que celui de la fraction qui le précede, & ôtant ce qui fe détruit l'on aura Z mmnnas 2mmnn af 1234 mmyy nn+mm ont à prefent leur origine au centre de l'Hyperbole. Pour le trouver, foit prolongée AB du côté de A en C terme connu de l'équation, CD fera le demi axe de l'Hyperbole, & D fon fommet. Si l'on fait prefentement mm. nn mm :: mmnnaa exprimera le demi diametre conjugué au demi diametre CD foit donc menée par le centre C la ligne CK parallele 224 — 2mmnn - 1234 nn —mm Vnn -mm elle fera le demi axe conjugué à CD. Il est aifé d'achever (art. 14 n°. 30 ), & de décri Y re par la premiere Propofition du même article, l'Hyperbole AM qui fatisfera au Problême. DEMONSTRATION. A YA qui eft en termes algebriques zz- :: mmnnaa n+ -2mmnn + m2 ·yy:: 1, d'où l'on tire aprés =o, en mettant pour zz sa va =0, nn-mm leur tirée de la réduction x + mma =,& en réduifant l'équation. C. Q. F. D. FIG. 83. 1: INDETERMINE'. PROBLEME DEUX EUX lignes AH, BG dont les extremitez A & B font fixes, étant données; il faut trouver entre ces deux lignes. un point M, par où & par le point A, ayant mené la ligne AMD, qui rencontre BG en D; & la ligne PME parallele à AB, qui joint les points A&B; PM foit à ED dans la raifon donnée de mà n. I Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, ou PE, a ; & les inconnues AP, x ; & PM, y; ·ME fera a ―y, & les triangles femblables MPA, MED donneront MP (y). PA ( x ) :: ME (a —y). ED = ax-xv , AX & les qualitez du Problême donnenty. 4x=xy :: m. n, d'où l'on tire yy + mxy -max =o, qui eft une Pour la réduire & pour la conftruire, je fais y → =u, & l'équation devient uu mmxx max o, & 4nn comme cette réduction a fait naître un premier terme mmxx dont le fecond eft max , il faut encore faire évanouir 4nn max n Pour ce fujet afin d'avoir xx délivré de toute quantité donnée, je multiplie toute l'équation par4nn, & je la divise par mm, ce qui la change en celle-ci *** ftruction. Le point A étant l'origine des inconnues x qui va vers “H, & y qui va vers B; à caufe de la feconde réducΗ, AK; le point K fera l'origine de z qui và toujours vers H, & de y qui, ayant mené KO parallele à AB, va vers 0 : & à cause de la premiere réduction y → =u; foit prise KO= =a, en mettant pour AK fa valeur & du point O par A ayant mené OAC m qui recontrera MP prolongée en C, MC sera =y+ |