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celes; puifque par l'Hypothefe l'angle IDB=IDF= AIK BID. Par la même raifon l'angle KFC = KFD=IDF=AKI=CKF; & qu'outre cela BD=

CF.

=

Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x; GD qu GF, y, DF, ou DB, ou BI fera, 2y; & partant HI, b27.

A caufe des triangles femblables AGD. AHI, l'on aura x ( AG). y ( GĎ ) ;: c (AH).by (HI), d'où l'on tire bx-2xy= cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes ; & à caufe du triangle rectangle AGD, l'on aura xxyy=aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait prefentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatrième dégré qui ne peut être réduite à une équation du fecond, d'où l'on doit conclure que le Problê. me eft folide; ainfi on le peut conftruire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle fe trouve conftruite, puifqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. c'eft pourquoi il n'y a qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec les réductions cette construction.

2

Soit prolongée AH en Z,en forte que AL=÷AH, & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant pris Z0=—=—HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AG, qui rencontrera HB en X. L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les afymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviferont l'arc BDC en trois parties égales BD, DF, FC,

DEMONSTRATION.

par le

AYANT
YANT mené par le point D, où l'Hyperbole AD
coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'afymptote
OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, &
centre A, le diametre gAf parallele à l'afymptote OL
qui rencontrera OM en P, &ND en S. L'on aura à caufe
des afymptotes OL,OD; DN × NO AL × LO; donc
SP × SD SA× AL; donc DS. SA:: AL. SP: mais
les triangles femblables DSA, AHI donnent DS. SA::
AH,HI; donc AL. SP :: AH. HI. Or ( const. ) AH
}

AL; donc HI=1SP; & partant HV, ou GD —
¿SP IV, & DF = 4SP + 2ÏV: mais HX (=HV
➡SP)=3SP➡ IV; c'est pourquoi BX(conft.) HX
=3SP + IV ; & par confequent BX XI, ou BI=
4SP + IV; donc BI= DF = KC. Mais les triangles
femblables AKI, AFD donnent AK. Kİ: AF. FD, ou
( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB. BI; d'où if.
fuit que l'angle BAD CAF DAF. C. Q. F. D.

Si la corde BC paffoit par le centre A, & étoit com fondue avec le diametre gAf, l'arc BC feroit un demi cercle, & la perpendiculaire AHc, feroit nulle ou = 0; o; c'eft pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole, les termes où c fe rencontre, l'on auroit y

2

C

= = b = =—=— Ag ; d'où il fuit qu'ayant divise Ag par le milieu en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arcs gT, TZ, & zf feront égaux. Ce qui eft évident.

EXEMPLE III

Problême Solide.

3. TROUVER deux moyennes proportionnelles entre F1 G. 90% deux lignes données KL, MN.

Ayant fuppofé le Problême refolu, & nommé les don

,

nées KL, a; MN,b; & les inconnues x &y, l'on aurą fuivant les termes de la question a. xx. y, & x. yy. b, d'où l'on tire ay=xx, & bx=yy, qui font deux équa tions à la parabole; & faifant évanouir l'inconnue y, l'on aura x'=aab, qui eft une équation du troifiéme degré, montre que le Problême eft Solide.

Mais parceque deux équations à la parabole étant combinées par addition ou fouftraction, peuvent toujonrs donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être delivré de toute quantité connue ; il fuit qu'on peut conftruire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précedentes, & de l'équation au cercle qui réfulte de la combinaison des deux mêmes équations par addition, qui eft ay + bx = xxyy.

Et parceque les deux premieres équations ay = xx, & bx=yy font également fimples, on peut indifferemment fe fervir de celle qu'on voudra. Prenons.donc la premiere ayxx. Pour la conftruire, foit A l'origine des inconnues x qui va versG, &y, qui va vers H perpendiculaire à AG; le même point A fera auffi le fommet de l'axe 4G de la parabole qu'il faut décrire, puifque l'équation ay=xx, n'a point besoin de réduction il n'y a donc qu'à décrire (art. 10. n°. 11 ) fur l'axe AG une parabole dont le parametre foit la ligne donnée

KL=a.

Pour conftruire prefentement l'équation au cercle ay+ bx = xx + yy ; soit fait pour la réduire y ——a— =; & l'on aura l'équation réduite

u, & x

b

aa + 1 bb — uuz, qui avec les réductions don, ne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y &

x; à cause de lapremiere réduction y ——4=«, lon

prendrą

prendra AC=—a=÷KL, & ayant mené CO parallele à AD; à cause de la feconde réduction x — I

=2, on prendra fur CO, CEMN, & le point E fera l'origine des inconnues z, qui va vers O,&u, parallele à AG, & le centre ducercle qu'il faut décrire: mais √ aa+bb, qui eft la racine du terme connu de l'équation réduite, est le demi diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre E par A, on décrit un cercle, il coupera la parabole en un point 2, par où ayant mené 2 parallele AH; PQ & PA feront les deux moyennes proportionnelles qu'il falloit trouver.

DEMONSTRATION.

IL L eft clair que le cercle coupe AG & AH en 1 & en D, de maniere que AI AC-KLa, & AD &AD= 1CEMN b. Ainfi PIPA Al=y—a, & PF = AD~PQ = b → x. Or par la propriété du cercle AP × PI=PM× PF, ou en termes algebriques, gy—ay=bx -xx, ou yy — bx — ay· ·bx ay — xx: mais (art. 10) ayxx; donc yy-bxo, ou yy bx. Or ay xx donne AI, ou KL. PQ :: PQ. PA, & yy bx donne PQ. PA:: PA. AD, ou MÑ, donc KÌ, PQ, PA, & MN font continuellement proportionnelles. C.Q.F.D.

EXEMPLE III.

Problême Solide.

FIG. 91. 4. UNE courbe AM, dont l'axe eft AP, fon sommet A, & un point D au dedans ou au dehors de cette courbe, étant donnez de pofition fur un Plan. Il faut mener du point D une ligne droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point M à angles droits.

Ayant fuppofé le Problême refolu, foient menées les droites DB & MP perpendiculaires à AC ; du point M la droite ME parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point Mla tangente MT. Nommant presentement les données AB,b; DB, c; & les indéterminées AP, x ; PM, y ; & PT, t; BP ou ME sera b + x fi le point B eft hors de la courbe, & DE, c-y.

Langle CMT étant droit par l'Hypotefe, les triangles MPT, CPM & MED feront femblables; c'eft pourquoi l'on aura y ( MP ) .t ( PT ) :: x +b (EM). c — y (ED); donc cy-yy=tx+bt, qui eft une équation generale pour toutes les courbes AM, & que l'on déterminera à telle courbe que l'on voudra, en y fubftituant en la place de t, l'expreffion de la foutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM foit une parabole; PT fera (art. 11 n°. 6)=2x=t; c'est pourquoi en mettant pour fa valeur 2x, l'on aura cy-yy t =2xx+2bx, qui eft une équation à l'Ellipfe; & nommant le parametre de la parabole a, l'on aura ( art. 10) ax=yy, qui eft l'équation à la parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troifième degré, qui ne peut être réduite ; & par confequent le Probleme propofé eft folide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole par rapport à fes diametres où les inconnues ne fe multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte.

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